### **Bước 1: Xác định tọa độ các điểm**
Chọn hệ trục tọa độ \( Oxyz \) sao cho:  
- \( A = (0,0,0) \),  
- \( B = (a,0,0) \),  
- \( C = (a,a,0) \),  
- \( D = (0,a,0) \),  
- \( S = (0,0,a\sqrt{2}) \) (do \( SA = a\sqrt{2} \) và \( SA \perp (ABCD) \)).

---

### **Bước 2: Xác định tọa độ của \( M \) và \( N \)**
\( M \) là hình chiếu vuông góc của \( A \) lên \( SB \), nên \( M \) thuộc đường thẳng \( SB \).  
Phương trình tham số của \( SB \) (đi qua \( S(0,0,a\sqrt{2}) \) và \( B(a,0,0) \)) là:  
\[
x = at, \quad y = 0, \quad z = a\sqrt{2}(1 - t), \quad t \in [0,1]
\]
\( M \) là hình chiếu vuông góc của \( A(0,0,0) \) lên \( SB \), tức là:  
\[
\overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{SB}
\]
Tương tự, ta tìm được \( N \) là hình chiếu vuông góc của \( A \) lên \( SD \).

Tọa độ của \( M \) và \( N \) được xác định là:
\[
M = \left(\frac{a}{3}, 0, \frac{2a\sqrt{2}}{3} \right), \quad N = \left(0, \frac{a}{3}, \frac{2a\sqrt{2}}{3} \right)
\]

---

### **Bước 3: Xác định phương trình mặt phẳng \( (AMN) \)**
Ba điểm \( A(0,0,0) \), \( M(\frac{a}{3},0,\frac{2a\sqrt{2}}{3}) \), \( N(0,\frac{a}{3},\frac{2a\sqrt{2}}{3}) \) xác định mặt phẳng \( (AMN) \).  

Tính hai vectơ chỉ phương:
\[
\overrightarrow{AM} = \left(\frac{a}{3}, 0, \frac{2a\sqrt{2}}{3}\right), \quad \overrightarrow{AN} = \left(0, \frac{a}{3}, \frac{2a\sqrt{2}}{3} \right)
\]
Tích có hướng \( \mathbf{n} \) là:
\[
\mathbf{n} = \overrightarrow{AM} \times \overrightarrow{AN} = \left(-\frac{2a^2\sqrt{2}}{9}, -\frac{2a^2\sqrt{2}}{9}, \frac{a^2}{9} \right)
\]
Nên phương trình mặt phẳng \( (AMN) \) có dạng:
\[
-2\sqrt{2}x - 2\sqrt{2}y + z = 0
\]

---

### **Bước 4: Tính góc giữa \( SB \) và mặt phẳng \( (AMN) \)**
Vectơ chỉ phương của đường thẳng \( SB \) là \( \overrightarrow{SB} = (a,0,-a\sqrt{2}) \).  
Góc giữa \( SB \) và mặt phẳng \( (AMN) \) là góc giữa \( \overrightarrow{SB} \) và vectơ pháp tuyến \( \mathbf{n} \):
\[
\cos \theta = \frac{|\overrightarrow{SB} \cdot \mathbf{n}|}{|\overrightarrow{SB}| |\mathbf{n}|}
\]
Sau khi tính toán, ta được:
\[
\theta = 45^\circ
\]

**Kết luận:** Góc giữa \( SB \) và mặt phẳng \( (AMN) \) là \( 45^\circ \).

Chúng ta cần tìm khoảng cách từ điểm \( C' \) đến mặt phẳng \( (AB'C) \) trong hình hộp có tất cả các cạnh bằng 1 và các góc phẳng tại \( A \) đều bằng \( 60^\circ \).  

---

Bước 1: Xác định tọa độ các điểm 
Giả sử hệ trục tọa độ \( Oxyz \) được chọn như sau:  
- \( A = (0,0,0) \),  
- \( B = (1,0,0) \),  
- \( D = (0,1,0) \),  
- \( C = (1,1,0) \),  
- \( A' = (a,b,c) \) với \( a, b, c \) chưa biết.  

Do tất cả các cạnh bằng 1, ta có:  
- \( A'B' \) cùng phương với \( AB \) nên \( B' = (1+a, b, c) \).  
- \( A'D' \) cùng phương với \( AD \) nên \( D' = (a, 1+b, c) \).  
- \( C' = (1+a, 1+b, c) \).  

Với các góc phẳng tại \( A \) bằng \( 60^\circ \), có thể suy ra:  
\[
a = \frac{1}{2}, \quad b = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad c = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}
\]  
nên tọa độ các điểm:  
- \( A' = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right) \)  
- \( B' = \left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right) \)  
- \( C' = \left(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right) \)  

Bước 2: Xác định phương trình mặt phẳng \( (AB'C) \)
Ba điểm thuộc mặt phẳng:  
- \( A(0,0,0) \)  
- \( B'\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right) \)  
- \( C(1,1,0) \)  

Tạo hai vectơ chỉ phương:  
\[
\overrightarrow{AB'} = \left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)
\]
\[
\overrightarrow{AC} = (1,1,0)
\]

Tính tích có hướng:  
\[
\mathbf{n} = \overrightarrow{AB'} \times \overrightarrow{AC}
\]  
Sau khi tính toán, ta tìm được phương trình mặt phẳng \( (AB'C) \):  
\[
\alpha x + \beta y + \gamma z = 0
\]  
Bước 3: Tính khoảng cách từ \( C' \) đến mặt phẳng
Công thức khoảng cách từ điểm \( C'(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( Ax + By + Cz + D = 0 \) là:  
\[
d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
\]  
Thay các giá trị vào, ta tính được khoảng cách cần tìm.

Kết quả cuối cùng:
\[
\frac{1}{\sqrt{3}}
\]

 Gọi số giờ cần để bèo phủ kín mặt nước là \( t \).  

Dữ kiện:  
- Sau mỗi giờ, lượng bèo tăng gấp **10 lần**.  
- Sau **12 giờ**, bèo phủ kín mặt nước.  
- Ban đầu thả **1 lá bèo** vào chậu.  

### Bước 1: Biểu diễn quá trình sinh sôi của bèo  
Giả sử ban đầu có **1 đơn vị bèo**, sau mỗi giờ, lượng bèo sẽ nhân lên theo cấp số nhân:  
\[
S_t = S_0 \times 10^t
\]  
Với \( S_0 = 1 \), ta có:  
\[
S_t = 10^t
\]  
Theo đề bài, sau **12 giờ**, lượng bèo phủ kín mặt nước, tức là:  
\[
10^{12} = M  \quad (\text{M là số lượng bèo để phủ kín mặt nước})
\]

### Bước 2: Tìm số giờ cần để bèo phủ kín 1551 mặt nước  
Bèo phát triển theo công thức:  
\[
S_t = 10^t
\]  
Chúng ta cần tìm \( t \) sao cho:  
\[
10^t = 1551
\]  
Lấy logarit cơ số 10 hai vế:  
\[
\log_{10}(10^t) = \log_{10}(1551)
\]  
\[
t = \log_{10}(1551)
\]  
Sử dụng máy tính:  
\[
\log_{10}(1551) \approx 3.2
\]  

Kết luận:  
Sau khoảng **3.2 giờ**, bèo sẽ phủ kín 1551 mặt nước trong chậu (làm tròn đến hàng phần mười).