Người ta kéo dây điện từ nguồn điện ở vị trí \(A\) đến \(B\), rồi từ \(B\) kéo lên vị trí \(C\) là ngọn Hải Đăng ở Vũng Tàu.

Biết:

• Khoảng cách từ vị trí \(A\) đến chân ngọn Hải Đăng là 5 km.
• Chiều cao ngọn Hải Đăng là 1 km.
• Tiền công kéo dây điện từ \(A\) đến \(B\) là 2 tỉ đồng/km.
• Tiền công kéo dây điện từ \(B\) đến \(C\) là 3 tỉ đồng/km.
• Tổng chi phí là 13 tỉ đồng.

Yêu cầu: Tính tổng chiều dài dây điện đã kéo từ \(A\) đến \(C\).

Giải

Gọi khoảng cách từ \(A\) đến \(B\) là \(x\) (km), khi đó đoạn từ chân ngọn Hải Đăng đến điểm \(B\) sẽ là \(5 - x\) (km).
Vì ngọn Hải Đăng cao 1 km nên đoạn \(B C\) là cạnh huyền của tam giác vuông có cạnh góc vuông là \(\left(\right. 5 - x \left.\right)\) và 1.

Ta có:

\(B C = \sqrt{\left(\right. 5 - x \left.\right)^{2} + 1}\)

Tiền công kéo dây:

• Từ \(A\) đến \(B\): \(2 x\) (tỉ đồng)
• Từ \(B\) đến \(C\): \(3 \cdot \sqrt{\left(\right. 5 - x \left.\right)^{2} + 1}\) (tỉ đồng)

Theo đề bài, tổng chi phí là 13 tỉ đồng, ta lập phương trình:

\(2 x + 3 \cdot \sqrt{\left(\right. 5 - x \left.\right)^{2} + 1} = 13 \left(\right. 1 \left.\right)\)

Giải phương trình (1):
Chuyển vế:

\(3 \cdot \sqrt{\left(\right. 5 - x \left.\right)^{2} + 1} = 13 - 2 x \Rightarrow \sqrt{\left(\right. 5 - x \left.\right)^{2} + 1} = \frac{13 - 2 x}{3}\)

Bình phương hai vế:

\(\left(\right. 5 - x \left.\right)^{2} + 1 = \left(\left(\right. \frac{13 - 2 x}{3} \left.\right)\right)^{2} \Rightarrow 25 - 10 x + x^{2} + 1 = \frac{\left(\right. 13 - 2 x \left.\right)^{2}}{9} \Rightarrow x^{2} - 10 x + 26 = \frac{169 - 52 x + 4 x^{2}}{9}\)

Nhân hai vế với 9:

\(9 x^{2} - 90 x + 234 = 169 - 52 x + 4 x^{2} \Rightarrow 5 x^{2} - 38 x + 65 = 0\)

Giải phương trình:

\(\Delta = \left(\right. - 38 \left.\right)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 65 = 1444 - 1300 = 144 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 12 \Rightarrow x = \frac{38 \pm 12}{10} \Rightarrow x_{1} = \frac{50}{10} = 5 , x_{2} = \frac{26}{10} = 2,6\)

Xét \(x = 5\):

\(\Rightarrow A B = 5 \&\text{nbsp};\text{km} , B C = 1 \&\text{nbsp};\text{km} \Rightarrow \text{T}ổ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{chi}\&\text{nbsp};\text{ph} \overset{ˊ}{\imath} = 2 \cdot 5 + 3 \cdot 1 = 11 \&\text{nbsp};\text{t}ỉ\&\text{nbsp};(\text{lo}ạ\text{i})\)

Xét \(x = 2,6\):

\(B C = \sqrt{\left(\right. 5 - 2,6 \left.\right)^{2} + 1} = \sqrt{2,4^{2} + 1} = \sqrt{5,76 + 1} = \sqrt{6,76} \approx 2,6\)

Vậy tổng chiều dài dây điện:

\(A C = A B + B C \approx 2,6 + 2,6 = \boxed{5,2 \&\text{nbsp};\text{km}}\)

a) Tính \(cos ⁡ \alpha\), với \(\alpha\) là góc giữa hai đường thẳng

\(\Delta : 3 x - 4 y + 7 = 0\) và \(\Delta_{1} : 12 x - 5 y + 7 = 0\).

Giải:
Ta sử dụng tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến để tính cosin góc giữa hai đường thẳng.

• Đường thẳng \(\Delta\) có vectơ pháp tuyến là \(\left(\overset{⃗}{n}\right)_{1} = \left(\right. 3 , - 4 \left.\right)\)
• Đường thẳng \(\Delta_{1}\) có vectơ pháp tuyến là \(\left(\overset{⃗}{n}\right)_{2} = \left(\right. 12 , - 5 \left.\right)\)

Áp dụng công thức:

\(cos ⁡ \alpha = \frac{\mid \left(\overset{⃗}{n}\right)_{1} \cdot \left(\overset{⃗}{n}\right)_{2} \mid}{\parallel \left(\overset{⃗}{n}\right)_{1} \parallel \cdot \parallel \left(\overset{⃗}{n}\right)_{2} \parallel}\)

Ta có:

\(\left(\overset{⃗}{n}\right)_{1} \cdot \left(\overset{⃗}{n}\right)_{2} = 3 \cdot 12 + \left(\right. - 4 \left.\right) \cdot \left(\right. - 5 \left.\right) = 36 + 20 = 56\)\(\parallel \left(\overset{⃗}{n}\right)_{1} \parallel = \sqrt{3^{2} + \left(\right. - 4 \left.\right)^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)\(\parallel \left(\overset{⃗}{n}\right)_{2} \parallel = \sqrt{12^{2} + \left(\right. - 5 \left.\right)^{2}} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\)

Vậy:

\(cos ⁡ \alpha = \frac{56}{5 \cdot 13} = \frac{56}{65}\)

Kết luận a:

\(\boxed{cos ⁡ \alpha = \frac{56}{65}}\)

b) Viết phương trình đường thẳng \(d\) song song với \(\Delta\) và tiếp xúc với đường tròn \(\left(\right. C \left.\right)\).

Giải:
Ta có phương trình đường tròn:

\(\left(\right. C \left.\right) : \left(\right. x + 3 \left.\right)^{2} + \left(\right. y - 2 \left.\right)^{2} = 36 \Rightarrow \text{T} \hat{\text{a}} \text{m}\&\text{nbsp}; I \left(\right. - 3 , 2 \left.\right) , \&\text{nbsp};\text{b} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{k} \overset{ˊ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp}; R = \sqrt{36} = 6\)

Vì đường thẳng \(d\) song song với \(\Delta\), nên có dạng:

\(d : 3 x - 4 y + c = 0 \left(\right. 1 \left.\right)\)

Yêu cầu: đường thẳng \(d\) tiếp xúc với đường tròn \(\left(\right. C \left.\right)\), nên khoảng cách từ tâm \(I \left(\right. - 3 , 2 \left.\right)\) đến \(d\) bằng bán kính \(R = 6\).

Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:

\(\frac{\mid 3 \left(\right. - 3 \left.\right) - 4 \left(\right. 2 \left.\right) + c \mid}{\sqrt{3^{2} + \left(\right. - 4 \left.\right)^{2}}} = 6 \Rightarrow \frac{\mid - 9 - 8 + c \mid}{5} = 6 \Rightarrow \frac{\mid c - 17 \mid}{5} = 6 \Rightarrow \mid c - 17 \mid = 30\)

Giải ra:

\(c - 17 = 30 \Rightarrow c = 47 \text{ho}ặ\text{c} c - 17 = - 30 \Rightarrow c = - 13\)

Kết luận b:
Có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu:

\(\boxed{d : 3 x - 4 y + 47 = 0 \text{ho}ặ\text{c} d : 3 x - 4 y - 13 = 0}\)

a) Giải bất phương trình:

\(- 2 x^{2} + 18 x + 20 \geq 0\)

Giải:
Ta nhân cả hai vế với \(- 1\) (đổi chiều bất phương trình):

\(2 x^{2} - 18 x - 20 \leq 0\)

Xét phương trình bậc hai:

\(2 x^{2} - 18 x - 20 = 0\)

Chia hai vế cho 2:

\(x^{2} - 9 x - 10 = 0\)

Tính biệt thức delta:

\(\Delta = \left(\right. - 9 \left.\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. - 10 \left.\right) = 81 + 40 = 121 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 11\)

Tính nghiệm:

\(x_{1} = \frac{9 - 11}{2} = - 1 , x_{2} = \frac{9 + 11}{2} = 10\)

Vì hệ số \(a = 2 > 0\), nên parabol hướng lên, bất phương trình \(2 x^{2} - 18 x - 20 \leq 0\) có nghiệm:

\(- 1 \leq x \leq 10\)

Kết luận:

\(\boxed{- 1 \leq x \leq 10}\)

b) Giải phương trình:

\(2 x^{2} - 8 x + 4 = x - 2\)

Giải:
Chuyển tất cả các hạng tử về một vế:

\(2 x^{2} - 8 x + 4 - x + 2 = 0 \Rightarrow 2 x^{2} - 9 x + 6 = 0\)

Tính biệt thức delta:

\(\Delta = \left(\right. - 9 \left.\right)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 81 - 48 = 33\)\(x = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2} = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{4}\)

Kết luận:

\(\boxed{x = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{4}}\)

Gọi độ rộng viền khung ảnh là \(x\) (cm), điều kiện: \(x \geq 0\)

Khi đó, kích thước toàn bộ khung ảnh (gồm cả viền) sẽ là:

• Chiều dài: \(25 + 2 x\) (cm)
• Chiều rộng: \(17 + 2 x\) (cm)

Diện tích toàn bộ khung ảnh là:

\(S \left(\right. x \left.\right) = \left(\right. 25 + 2 x \left.\right) \left(\right. 17 + 2 x \left.\right)\)

Ta có yêu cầu:

\(\left(\right. 25 + 2 x \left.\right) \left(\right. 17 + 2 x \left.\right) \leq 513\)

Ta khai triển vế trái:

\(\left(\right. 25 + 2 x \left.\right) \left(\right. 17 + 2 x \left.\right) = 425 + 50 x + 34 x + 4 x^{2} = 4 x^{2} + 84 x + 425\)

Nên ta có bất phương trình:

\(4 x^{2} + 84 x + 425 \leq 513 \Rightarrow 4 x^{2} + 84 x + 425 - 513 \leq 0 \Rightarrow 4 x^{2} + 84 x - 88 \leq 0\)

Chia cả hai vế cho 4:

\(x^{2} + 21 x - 22 \leq 0\)

Giải phương trình \(x^{2} + 21 x - 22 = 0\):

\(\Delta = 21^{2} + 4 \cdot 22 = 441 + 88 = 529 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 23\)\(x_{1} = \frac{- 21 + 23}{2} = 1 , x_{2} = \frac{- 21 - 23}{2} = - 22\)

Vì \(x \geq 0\), nên nghiệm của bất phương trình là:

\(0 \leq x \leq 1\)

Vậy độ rộng viền lớn nhất bạn Hà có thể làm là:

\(\boxed{1 \&\text{nbsp};\text{cm}}\)

Gọi độ rộng viền khung ảnh là \(x\) (cm), điều kiện: \(x \geq 0\)

Khi đó, kích thước toàn bộ khung ảnh (gồm cả viền) sẽ là:

• Chiều dài: \(25 + 2 x\) (cm)
• Chiều rộng: \(17 + 2 x\) (cm)

Diện tích toàn bộ khung ảnh là:

\(S \left(\right. x \left.\right) = \left(\right. 25 + 2 x \left.\right) \left(\right. 17 + 2 x \left.\right)\)

Ta có yêu cầu:

\(\left(\right. 25 + 2 x \left.\right) \left(\right. 17 + 2 x \left.\right) \leq 513\)

Ta khai triển vế trái:

\(\left(\right. 25 + 2 x \left.\right) \left(\right. 17 + 2 x \left.\right) = 425 + 50 x + 34 x + 4 x^{2} = 4 x^{2} + 84 x + 425\)

Nên ta có bất phương trình:

\(4 x^{2} + 84 x + 425 \leq 513 \Rightarrow 4 x^{2} + 84 x + 425 - 513 \leq 0 \Rightarrow 4 x^{2} + 84 x - 88 \leq 0\)

Chia cả hai vế cho 4:

\(x^{2} + 21 x - 22 \leq 0\)

Giải phương trình \(x^{2} + 21 x - 22 = 0\):

\(\Delta = 21^{2} + 4 \cdot 22 = 441 + 88 = 529 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 23\)\(x_{1} = \frac{- 21 + 23}{2} = 1 , x_{2} = \frac{- 21 - 23}{2} = - 22\)

Vì \(x \geq 0\), nên nghiệm của bất phương trình là:

\(0 \leq x \leq 1\)

Vậy độ rộng viền lớn nhất bạn Hà có thể làm là:

\(\boxed{1 \&\text{nbsp};\text{cm}}\)

Gọi độ rộng viền khung ảnh là \(x\) (cm), điều kiện: \(x \geq 0\)

Khi đó, kích thước toàn bộ khung ảnh (gồm cả viền) sẽ là:

• Chiều dài: \(25 + 2 x\) (cm)
• Chiều rộng: \(17 + 2 x\) (cm)

Diện tích toàn bộ khung ảnh là:

\(S \left(\right. x \left.\right) = \left(\right. 25 + 2 x \left.\right) \left(\right. 17 + 2 x \left.\right)\)

Ta có yêu cầu:

\(\left(\right. 25 + 2 x \left.\right) \left(\right. 17 + 2 x \left.\right) \leq 513\)

Ta khai triển vế trái:

\(\left(\right. 25 + 2 x \left.\right) \left(\right. 17 + 2 x \left.\right) = 425 + 50 x + 34 x + 4 x^{2} = 4 x^{2} + 84 x + 425\)

Nên ta có bất phương trình:

\(4 x^{2} + 84 x + 425 \leq 513 \Rightarrow 4 x^{2} + 84 x + 425 - 513 \leq 0 \Rightarrow 4 x^{2} + 84 x - 88 \leq 0\)

Chia cả hai vế cho 4:

\(x^{2} + 21 x - 22 \leq 0\)

Giải phương trình \(x^{2} + 21 x - 22 = 0\):

\(\Delta = 21^{2} + 4 \cdot 22 = 441 + 88 = 529 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 23\)\(x_{1} = \frac{- 21 + 23}{2} = 1 , x_{2} = \frac{- 21 - 23}{2} = - 22\)

Vì \(x \geq 0\), nên nghiệm của bất phương trình là:

\(0 \leq x \leq 1\)

Vậy độ rộng viền lớn nhất bạn Hà có thể làm là:

\(\boxed{1 \&\text{nbsp};\text{cm}}\)