a) Li độ \(x = 4 c m = \frac{A}{2}\):

\(\omega=5\left(rad/s\right).\)

Động năng:

\(W_{đ}=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m\omega^2\left(\right.A^2-x^2\left.\right)=\frac{1}{2}\cdot2\cdot5^2\left(\right.0,08^2-0,04^2\left.\right)\approx0,12\left(J\right).\)

Cơ năng: \(W=\frac{1}{2}mv_{max}^2=\frac{1}{2}\cdot2\cdot5^2\cdot0,08^2=0,16\left(J\right).\)

Thế năng: \(W_{t}=W-W_{đ}=0,16-0,12=0,04\left(J\right).\)

b) Để thế năng bằng động năng: \(W_{đ} = W_{t}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{2} m \omega^{2} \left(\right. A^{2} - x^{2} \left.\right) = \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2}\)

\(\Rightarrow A^2-x^2=x^2\Rightarrow A^2=2x^2\Rightarrow x=\pm\frac{A}{\sqrt{2}}=\pm\frac{8}{\sqrt2}\left(\operatorname{cm}\right).\)

a.Nhìn vào đồ thị ta có:

Chu kì \(T = 2 s\), suy ra tần số góc \(\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{2} = \pi\) (rad/s).

Vận tốc cực đại của dao động: \(\text{v}_{m a x} = \omega A\) \(\Rightarrow A = \frac{\text{v}_{m a x}}{\omega} = \frac{4}{\pi}\) (cm).

Thời điểm \(t = 0\), vật có \(\text{v} = \text{v}_{m a x}\), suy ra vật ở VTCB và \(\text{v} > 0\)

Khi đó: \(x = 0 \Rightarrow c o s ⁡ \varphi = 0 \Rightarrow \varphi = - \frac{\pi}{2}\)

Phương trình của vận tốc có dạng: \(\text{v} = \omega A c o s ⁡ \left(\right. \omega t + \varphi + \frac{\pi}{2} \left.\right)\)

\(\Rightarrow \text{v} = 4 c o s ⁡ \left(\right. \pi t - \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \left.\right) = 4 c o s ⁡ \left(\right. \pi t \left.\right)\) (cm/s)

b. Phương trình dao động điều hòa có dạng: \(x = A c o s ⁡ \left(\right. \omega t + \varphi \left.\right)\)

\(\Rightarrow x = \frac{4}{\pi} c o s ⁡ \left(\right. \pi t - \frac{\pi}{2} \left.\right)\) (cm)

Phương trình của gia tốc có dạng: \(a = \omega^{2} A c o s ⁡ \left(\right. \omega t + \varphi + \pi \left.\right)\)

\(\Rightarrow a = \pi^{2} . \frac{4}{\pi} c o s ⁡ \left(\right. \pi t - \frac{\pi}{2} + \pi \left.\right) = 4 \pi c o s ⁡ \left(\right. \pi t + \frac{\pi}{2} \left.\right)\) (cm/s²)

Từ phương trình \(x = 5 s i n ⁡ \left(\right. 2 \pi t + \frac{\pi}{6} \left.\right)\) (cm) 

Ta có: \(A=5\) (cm); \(\omega = 2 \pi\) (rad/s)

Ta có: \(\text{v}=x^{\prime}=\omega Acos⁡\left(\right.\omega t+\varphi\left.\right)=2\pi.5.cos⁡\left(\right.2\pi t+\frac{\pi}{6}\left.\right)=10\pi cos⁡\left(\right.2\pi t+\frac{\pi}{6}\left.\right)\) (cm/s)

a. Ở thời điểm \(t = 5\) s

Ta có: \(x = 5 s i n ⁡ \left(\right. 2 \pi . 5 + \frac{\pi}{6} \left.\right) = 2 , 5\) (cm).

\(\text{v} = 10 \pi c o s ⁡ \left(\right. 2 \pi . 5 + \frac{\pi}{6} \left.\right) = 5 \sqrt{30}\) (cm/s).

\(a=-\omega^2x=-\left(2\pi\right)^2.2,5=-100\) (cm/s^2).

b. Khi pha dao động là 120^o.

\(x=5sin⁡120^{o}=\frac{5\sqrt3}{2}\left(\operatorname{cm}\right).\)

\(v = 10 \pi c o s ⁡ 12 0^{o} = - 5 \pi\) (cm/s)

\(a=-\omega^2x=-\frac{\left(2\pi\right)^2.5\sqrt3}{2}=-100\sqrt{3}\) (cm/s^2).

Ta có: L=2A=12 => A=6 (cm).

Chu kì dao động: \(T=\frac{deltat}{N}=\frac{62 , 8}{20}=3,14s\approx\pi\left(s\right)\Rightarrow\omega=\frac{2 \pi}{T}=\frac{2\pi}{3,14}=2\left(\frac{rad}{s}\right)\)

Áp dụng pt độc lập: \(x^{2} + \frac{v^{2}}{\omega^{2}} = A^{2}\)

\(\Rightarrow\left(-2\left.\right)\right.^2+\frac{v^{2}}{2^{2}}=6^2\Rightarrow v=\pm8\sqrt{2}\left(\right.cm/s\left.\right).\)

Mà vật đang chuyển động theo chiều dương (v>0): \(v=8\sqrt{2}\left(\right.cm/s\left.\right)\)

Gia tốc vật: 

\(a=-\omega^2x=-2^2\cdot\left(\right.-2\left.\right)=8\left(cm/s^2\right).\)

Ta có:  \(T = 4 s \Rightarrow \omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{4} = \frac{\pi}{2}\); \(t = 6 s = T + \frac{T}{2}\)

Mà quãng đường vật đi được trong 6s là 48cm nên:

\(S=4A+2A=6A=48\Rightarrow A=8\left(cm\right).\)

Khi \(t = 0\) vật qua VTCB và hướng về vị trí biên âm nên \(\varphi_{}=\frac{\pi}{2}\).

=> PT dao động: 

\(x=Acos\left(\right.\omega t+\varphi_{}\left.\right)=8cos\left(\right.\frac{\pi}{2}t+\frac{\pi}{2}\left(\operatorname{cm}\right).\)