a,Điều kiện\(1 - x \neq 0\) ;\(1 - 2 x \neq 0\) và\(1 + x \neq 0\) hay\(x \neq 1\) ;\(x \neq \frac{1}{2}\) và\(x \neq - 1\)

Ta có\(A=\left[\right.\frac{1}{1 - x}+\frac{2}{x + 1}-\frac{5 - x}{1 - x^{2}}\left]\right.:\frac{1 - 2 x}{x^{2} - 1}\)

\(A=\left[\right.\frac{1}{1 - x}+\frac{2}{x + 1}-\frac{5 - x}{\left(\right. 1 - x \left.\right) \left(\right. x + 1 \left.\right)}\left]\right.:\frac{2 x - 1}{1 - x^{2}}\)

\(A=\left[\right.\frac{x + 1}{\left(\right. 1 - x \left.\right) \left(\right. 1 + x \left.\right)}+\frac{2 \left(\right. 1 - x \left.\right)}{\left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. 1 - x \left.\right)}-\frac{5 - x}{\left(\right. 1 - x \left.\right) \left(\right. x + 1 \left.\right)}\left]\right.:\frac{2 x - 1}{\left(\right. 1 - x \left.\right) \left(\right. 1 + x \left.\right)}\)

\(A=\left[\right.\frac{x + 1 + 2 - 2 x - 5 + x}{\left(\right. 1 - x \left.\right) \left(\right. 1 + x \left.\right)}\left]\right..\frac{\left(\right. 1 - x \left.\right) \left(\right. 1 + x \left.\right)}{2 x - 1}\)

\(A = \left[\right. \frac{- 2}{\left(\right. 1 - x \left.\right) \left(\right. 1 + x \left.\right)} \left]\right. . \frac{\left(\right. 1 - x \left.\right) \left(\right. 1 + x \left.\right)}{2 x - 1} = \frac{- 2}{2 x - 1}\)

b,b) Để\(A > 0\) thì\(\frac{- 2}{2 x - 1} > 0\)

\(2 x - 1 < 0\) vì\(- 2 < 0\)

\(x < \frac{1}{2}\)(nhận)

Vậy\(x < \frac{1}{2}\) và\(x;\neq-1\) thì\(A > 0\).

a,\(x^2-3x+1>2x-2-3x+x^2\)

\(- 2 x > - 3\)

\(x < \frac{3}{2}\)

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là:\(x < \frac{3}{2}\)

b\(,2x^2-2x+1\le2x^2+6x+5\)

\(- 8 x \leq 4\)

\(x \geq - \frac{1}{2}\)

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là:\(x \geq - \frac{1}{2}\)

c,\(x^3-6x^2+x-6\le x^3-6x^2+12x-8\)

\(- 11 x \leq - 2\)

\(x \geq \frac{2}{11}\)

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là:\(x \geq \frac{2}{11}\).

a,\(\frac{3(3x+5)}{6}-\frac{6x}{6}\ge\frac66+\frac{2(x+2)}{6}\)

9x+15−6x≥6+2x+4

\(9 x - 6 x - 2 x \geq 6 + 4 - 15\)

\(x \geq - 5\)

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là:\(x \geq - 5\)​

b,\(\frac{2(x-2)-6x-6.2}{6}\le\frac{3(x-17)}{6}\)

2x−4−6x−12≤3x−51

\(- 4 x - 16 \leq 3 x - 51\)

\(- 4 x - 3 x \leq - 51 + 16\)

\(- 7 x \leq - 35\)

\(x \geq 5\)

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là:\(x \geq 5\)​

c,
c,\(\frac{4(2x+1)-3(x-4)}{12}\le\frac{2(3x+1)-(x-4)}{12}\)

8x+4−3x+12≤6x+2−x+4

\(5 x + 16 \leq 5 x + 6\)

\(5 x - 5 x \leq 6 - 16\)

\(0 x \leq - 10\)

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

​

a,\(\frac{6x+3}{20}+\frac{20}{20}>6x+104\) ​

6x+3+20>6x+104

\(0 x > 81\)

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm

b,\(\frac{12x-1}{6}+\frac{6x-19}{6}\le\frac{18x-22}{6}\)

12x−3+6x−19≤18x−22

\(0 x \leq 0\)

Vậy bất phương trình đã cho có vô số nghiệm\(\)

) \(\Delta A I E \sim \Delta A C I\) (g.g) suy ra \(\frac{A I}{A C} = \frac{A E}{A I}\) hay \(A I^{2} = A E . A C\) (1)

Chứng minh tương tự:

\(\Delta A I K \sim \Delta A K B\) (g.g) suy ra \(\frac{A K}{A B} = \frac{A F}{A K}\) hay \(A K^{2} = A B . A F\) (2)

Mà \(\Delta A B E \sim \Delta A C F\) (g.g) suy ra \(\frac{A B}{A C} = \frac{A E}{A F}\) hay \(A B . A F = A C . A E\) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có \(A I^{2} = A K^{2}\) suy ra \(A I = A K\).

b) Vì \(\hat{A} = 60^{\circ}\) suy ra \(\hat{B_{1}} = 30^{\circ}\)

Trong tam giác \(A B E\) vuông tại \(E\) nên \(A E = \frac{1}{2} A B ,\)

Trong tam giác \(A F C\) vuông tại \(F\) có \(\hat{C_{1}} = 30^{\circ}\) suy ra \(A F = \frac{1}{2} A C\).

Do đó, \(\Delta A E F \sim \Delta A B C\) (c.g.c).

suy ra \(\frac{S_{A E F}}{S_{A B C}} = \left(\left(\right. \frac{A E}{A B} \left.\right)\right)^{2} = \frac{1}{4}\).

Vậy \(S_{A E F} = \frac{1}{4} . 120 = 30\) cm\(^{2}\).

Gọi \(B F\) cắt \(D C\) tại \(K\), \(B E\) cắt \(D C\) tại \(I\), và \(E F\) cắt \(A B\) tại \(G\).

\(\Delta F A B\) có \(D K\) // \(A B\) suy ra \(\frac{D K}{A B} = \frac{F D}{F A}\) (1)

\(\Delta F A G\) có \(D H\) // \(A G\) suy ra \(\frac{D H}{A G} = \frac{F D}{F A}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{D K}{A B} = \frac{D H}{A G}\) hay \(\frac{D K}{D H} = \frac{A B}{A G}\) (*)

Tương tự \(\Delta E I C\) có \(A B\) // \(I C\) suy ra \(\frac{I C}{A B} = \frac{E C}{E A}\) (3)

\(\Delta E H C\) có \(H C\) // \(A B\) suy ra \(\frac{H C}{A G} = \frac{E C}{E A}\) (4)

Từ (3) và (4) ta có \(\frac{I C}{A B} = \frac{H C}{A G}\) hay \(\frac{I C}{H C} = \frac{A B}{A G}\) (**)

Từ (*) và (**) ta có \(\frac{D K}{D H} = \frac{I C}{H C}\).

Mà \(D H = H C\) (gt) suy ra \(D K = I C\)

Mặt khác \(B D = B C\) (gt) nên \(\Delta B D C\) cân

Suy ra \(\hat{B D K} = \hat{B C I}\)

Vậy \(\Delta B D K = \Delta B C I\) (c.g.c)

Suy ra \(\hat{D B K} = \hat{C B I}\).

a) \(\Delta A B E\) có \(A M\) // \(D G\) suy ra \(\frac{A E}{E G} = \frac{E B}{E D}\) (1)

\(\Delta A D E\) có \(A D\) // \(B K\) suy ra \(\frac{E B}{E D} = \frac{E K}{E A}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có \(\frac{A E}{E G} = \frac{E K}{E A}\) nên \(A E^{2} = E K . E G\).

b) Từ \(\frac{1}{A E} = \frac{1}{A K} + \frac{1}{A G}\) suy ra \(\frac{A E}{A K} + \frac{A E}{A G} = 1\)

\(\Delta A D E\) có \(A D\) // \(B C\) suy ra \(\frac{A E}{E K} = \frac{E D}{E B}\)

     \(\frac{A E}{A E + E K} = \frac{E D}{E D + E B}\)

     \(\frac{A E}{A K} = \frac{E D}{D B}\) (3)

Tương tự \(\Delta A E B\) có \(A B\) // \(D G\) suy ra \(\frac{A E}{E G} = \frac{B E}{E D}\)

     \(\frac{A E}{A E + E G} = \frac{B E}{B E + E D}\)

     \(\frac{A E}{A G} = \frac{B E}{B D}\) (4)

Khi đó \(\frac{A E}{A K} + \frac{A E}{A G} = \frac{E D}{B D} + \frac{B E}{B D} = 1\).

c) Ta có \(\frac{B K}{K C} = \frac{A B}{C G}\) suy ra \(B K = \frac{K C . A B}{C G}\) và \(\frac{K C}{A D} = \frac{C G}{D G}\).

Suy ra \(D G = \frac{A D . C G}{K C}\)

Nhân theo vế ta được \(B K . D G = A B . A D\) không đổi.

Qua �A vẽ đường thẳng song song với BC cắt ′BB′ tại D và cắt′CC′ tại E.

Khi đó 

ΔΔAME có AE // A′C suy ra A′M/AM​=A′C/AE​ (1)

ΔΔAMD có AD // A′B suy ra A′M/AM​=A′B/AD​ (2)

Từ (1) và (2) ta có A′M/AM​=A′C/AE​=A′B/AD​=A′C+A′B/AD+AE​=BC/DE​ (*)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

ΔΔAB′D có AD // BC suy ra B′C/AB′​=BC/AD​ (3)

ΔΔAC′E cóAE // BC suy ra C′B/AC′​=BC/AE​ (4)

Từ (3) và (4) ta có B′CAB′​+BC′/AC′​=BC/AD​+BC/AE​=BC/DE​ (**)

Từ (*) và (**) ta có ′A′M/AM​=BC/DE​=B′C/AB′​+BC′/AC′​ (đpcm).