a) ΔAIE∽ΔACI (g.g) suy ra ACAI​=AIAE​ hay AI2=AE.AC (1)

Chứng minh tương tự:

ΔAIK∽ΔAKB (g.g) suy ra ABAK​=AKAF​ hay AK2=AB.AF (2)

Mà ΔABE∽ΔACF (g.g) suy ra ACAB​=AFAE​ hay AB.AF=AC.AE (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có 2AI2=AK2 suy ra AI=AK.

b) Vì A=60∘ suy ra B1​​=30∘

Trong tam giác ABE vuông tại E nên ,AE=21​AB,

Trong tam giác AFC vuông tại F có C1​​=30∘ suy ra AF=21​AC.

Do đó, ΔAEF∽ΔABC (c.g.c).

suy ra SABC​SAEF​​=(ABAE​)2=41​.

VậySAEF​=41​.120=30 cm22.

Gọi BF cắt DC tại K, BE cắt DC tại I, và EF cắt AB tại G.

ΔFAB có DK // AB suy raABDK​=FAFD​ (1)

ΔFAG có DH // AG suy ra AGDH​=FAFD​ (2)

Từ (1) và (2) suy ra ABDK​=AGDH​ hayDHDK​=AGAB​ (*)

Tương tựΔEIC có IC suy ra ABIC​=EAEC​ (3)

ΔEHC có HC // AB suy ra AGHC​=EAEC​ (4)

Từ (3) và (4) ta có ABIC​=AGHC​ hay HCIC​=AGAB​ (**)

Từ (*) và (**) ta có DHDK​=HCIC​.

Mà DH=HC (gt) suy ra DK=IC

Mặt khác BD=BC (gt) nên ΔBDC cân

Suy ra ^BDK=BCI

Vậy ΔBDK=ΔBCI (c.g.c)

Suy ra ^DBK=CBI.

a) ΔABE có AM // DG suy ra EGAE​=EDEB​ (1)

ΔADE có AD // BK suy ra EDEB​=EAEK​ (2)

Từ (1) và (2) ta có EGAE​=EAEK​ nên AE2=EK.EG.

b) Từ 1=1+1AE1​=AK1​+AG1​ suy ra =1AKAE​+AGAE​=1

ΔADE có AD //BC suy ra EKAE​=EBED​

  AE+EKAE​=ED+EBED​

   AKAE​=DBED​ (3)

Tương tự ΔAEB có AB // DG suy ra EGAE​=EDBE​

   AE+EGAE​=BE+EDBE​

    AGAE​=BDBE​ (4)

Khi đó =1AKAE​+AGAE​=BDED​+BDBE​=1.

c) Ta có KCBK​=CGAB​ suy raBK=CGKC.AB​ và ADKC​=DGCG​.

Suy ra DG=KCAD.CG​

Nhân theo vế ta được BK.DG=AB.AD không đổi.

a) ΔABE có AM // DG suy ra EGAE​=EDEB​ (1)

ΔADE có AD // BK suy ra EDEB​=EAEK​ (2)

Từ (1) và (2) ta có EGAE​=EAEK​ nên ��2=��.��AE2=EK.EG.

b) Từ AE1​=AK1​+AG1​ suy ra AKAE​+AGAE​=1

ΔADE có AD // BC suy raEKAE​=EBED​

AE+EKAE​=ED+EBED​

    AKAE​=DBED​ (3)

Tương tự ΔAEB có AB // DG suy ra EGAE​=EDBE​

    AE+EGAE​=BE+EDBE​

AGAE​=BDBE​ (4)

Khi đó AKAE​+AGAE​=BDED​+BDBE​=1.

c) Ta có KCBK​=CGAB​ suy ra BK=CGKC.AB​ và ADKC​=DGCG​.

Suy ra DG=KCAD.CG​

Nhân theo vế ta được BK.DG=AB.AD không đổi

Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt ′BB′ tại D và cắt ′CC′ tại E.

Khi đó 

ΔAME có AE // A′C suy ra A′MAM​=A′CAE​ (1)

ΔAMD có AD // A′B suy raA′MAM​=A′BAD​ (2)

Từ (1) và (2) ta có A′MAM​=A′CAE​=A′BAD​=A′C+A′BAD+AE​=BCDE​ (*)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

ΔAB′D có AD // BC suy ra B′CAB′​=BCAD​ (3)

ΔΔAC′E có AE // BC suy ra C′BAC′​=BCAE​ (4)

Từ (3) và (4) ta có B′CAB′​+BC′AC′​=BCAD​+BCAE​=BCDE​ (**)

Từ (*) và (**) ta có A′MAM​=BCDE​=B′CAB′​+BC′AC′​ (đpcm).