Gọi G=BD giao EC

=>GD=1/2GB

=>KI=1/3BI

tương tự GK=1/3KC => IK=1/4BD=1/2ED=MI=KN (vì M trung điểm EB, trung điểm DC, MN//BC

=>MI=IK=KN

Vì M trung điểm AC, N trung điểm AB nên MN là đường trung bình tam giác ABC

=> MN//=1/2 BC

Tương tự, DE//=1/2BC nên MNDE là hình bình hành

=>MN//DE.ND//ME

a) OA/OD=SABM/SBDM=SABM/SBMC*SBMC/SMBD=1/2*2=1

=> O trung điểm AD

b)OM/BO=SAMD/SABD=SAMD/SADC=1/3

=>OM=4BM

a) Gọi S là diện tích

Ta có: AD/DC=SABD/SBDC=SAID/SDIC=SABD-SAID/SBDC-SDIC=SABI/SBIC=1/2

=>AD=1/2DC

b)BI/ID=SABM/SADM=SAMC/SAMD=3

=>BI=3ID

a) AEDF có 3 góc vuông là DEA, EAF và AFD nên AEDF là hình chữ nhật

=> EAD là tam giác vuông.

Xét tam giác BMA và tam giác CMA có:

BM=MC (M là trung điểm BC)
Chung AM

AB=AC (ABC vuông cân tại A)

=> tam giác BMA= tam giác CMA (c-c-c)

=>góc BAM= góc CAM = 45*

Mà góc AED=90* nên tam giác AED vuông cân tại E.

=>AE=ED.

=>AEDF là hình vuông

b)AEDF là hình vuông nên góc EFA =45* = góc BCA

Mà đây là 2 góc so le trong nên BC // EF

a) Tứ giác ADME có 3 góc vuông là DAE,MEA,MDA nên ADME là hình chữ nhật

b) Ta có: M là trung điểm BC; MD // AC nên D là DM là đường trung bình tam giác BAC.

=> D là trung điểm AB

=>AMBI là hình bình hình thoi (2 đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

c) AMBI là hình vuông khi góc AMB= góc AMC= 90*

Mà M là trung điểm BC nên ABC phải vuông cân tại A.

a) Tứ giác ABCD có AC cắt BD tại trung điểm mỗi đường là N nên ABCD là hình bình hành

b)AQ // PC => góc AQC bằng góc QCP bằng góc CPA bằng góc PAQ bằng 90*

Suy ra AQCP là hcn

Suy ra AQ=CP

Suy ra QD=BP.

Tứ giác QDPB có QD // BP, QD=BP nên QDPB là hình bình hành.

=>QP cắt BD tại trung điểm BD là N.

=> Q,N,P thẳng hàng

c) Tứ giác ABCD là hình vuông khi BA=BC và góc ABC =90*

Suy ra tam giác ABC phải vuông cân tại B.

a) Ta có:ND=MC=1/2AD=1/2BC; ND//MC nên MCDN là hình bình hành.

Mà DC=AB=1/2 AD, ND=1/2 AD nên NDCM là hình thoi

b) Vì mỗi đường chéo của hình thoi là các đường phân giác của các góc nên góc MDN= góc MDC=60*, do góc BAD =90*nên góc BAD= góc MDA.

Mà BM//AD nên ADMB là hình thang cân và AM=BD.

c) BM//AD, BM=1/2 AD nên BM là đường trung bình tam giác ADK.

Suy ra B,M lần lượt là trung điểm AK,KD

Do N là trung điểm AD nên AM,BD,NK đồng quy.

a)ABCD là hình vuông suy ra các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, bằng nhau và chia mỗi góc vuông thành 2 góc 45*.

Xét tam giác AOP và tam giác BOR có:

OB=OA

góc BOR= góc POA( cùng phụ với góc BOP)

góc OBR=góc OAP (=45*)

Suy ra tam giác AOP bằng tam giác BOR (g-c-g)

Suy ra OR=OP(tương ứng)

b)Xét tam giác AOP và tam giác COM có:

OC=OA

góc POA= góc COM( đối đỉnh)

góc OCM=góc OAP (so le trong)

Suy ra tam giác AOP bằng tam giác COM (g-c-g)

Suy ra OP=OM(tương ứng)

Xét tam giác DOS và tam giác BOR có:

OB=OD

góc BOR= góc SOD( đối đỉnh)

góc OBR=góc ODS (so le trong)

Suy ra tam giác DOS bằng tam giác BOR (g-c-g)

Suy ra OP=OS(tương ứng)

Suy ra OP=OR=OS=OQ

c) Do OP=OR=OS=OQ, RS vuông góc với PQ nên RPSQ là hình vuông

a) DKMN có 3 góc vuông nên DKMN là hình chữ nhật

b) Ta có: MN là đường trung bình tam giác DFE nên MN//=1/2 DF

=> MH//=DF

=> MHDF là hình bình hành

=>H,O,F thẳng hàng

c)DKMN vuông khi DK=DN

Mà DK=1/2DF, DN=1/2DE nên DKMN là hình vuông khi tam giác DEF vuông cân tại D.