a) Do \(A B , A C\) là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) nên \(\hat{A B O} = \hat{A C O} = 9 0^{\circ}\).

Gọi \(I\) là trung điểm \(O A\).

Xét tam giác \(O A B\) vuông tại \(B\) có \(B I\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(I B = I A = I O = \frac{1}{2} A O\) (1)

Xét tam giác \(O A C\) vuông tại \(C\) có \(C I\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(I C \&\text{nbsp}; = I A = I O = \frac{1}{2} A O\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(I B = I C = I A = I O\).

Suy ra \(B , C\) thuộc đường tròn tâm \(I\) đường kính \(O A\).

b) Ta có \(A M . A O = \frac{A B}{2} . 2 A I = A B . A I\).

c) Gọi \(E\) là trung điểm \(M A\), do \(G\) là trọng tâm \(\Delta C M A\) nên \(G \in C E\) và \(\frac{G E}{C E} = \frac{1}{3}\).

Mặt khác \(\frac{M E}{B E} = \frac{1}{3}\) \(\left(\right.\)vì \(M E = \frac{M A}{2} = \frac{M B}{2}\) nên \(M E = \frac{B E}{3} \left.\right)\)

Suy ra \(\frac{G E}{C E} = \frac{M E}{B E}\), theo định lí Thalès đảo ta có:

\(M G\) // \(B C\).

d) Gọi \(G^{'}\) là giao điểm của \(O A\) và \(C M\) suy ra \(G^{'}\) là trọng tâm \(\Delta A B C\).

Nên \(\frac{G^{'} M}{C M} = \frac{1}{3} = \frac{G E}{C E^{'}}\)

Theo định lý Thalès đảo ta có \(G G^{'}\) // \(M E\) (1)

\(M I\) là đường trung bình trong \(\Delta O A B\) suy ra \(M I\) // \(O B\), mà \(A B ⊥ O B\) (cmt) nên \(M I ⊥ A B\), nghĩa là \(M I ⊥ M E\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(M I ⊥ G G^{'}\),

Lại có \(G I^{'} ⊥ M K\) (vì \(O A ⊥ M K\)) nên \(I\) là trực tâm \(\Delta M G G^{'}\)

Suy ra \(G I ⊥ G^{'} M\) tức là \(G I ⊥ C M\).

a) Tứ giác BCED nội tiếp, (C) thuộc đường tròn đường kính AB suy ra góc ACB = 90 độ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(\hat{E C B} = 9 0^{\circ}\).

Mặt khác \(E D ⊥ A B\) tại \(D\) (gt) suy ra \(\hat{E D B} = 9 0^{\circ}\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(B E\).

Xét tam giác \(B C E\) có \(\hat{B C E} = 9 0^{\circ}\) và \(C I\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(I C = I E = I B = \frac{1}{2} B E\).

Xét tam giác \(B E D\) có \(\hat{B D E} = 9 0^{\circ}\) và \(D I\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(I D = I E = I B = \frac{1}{2} B E\).

Suy ra \(B C E D\) là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm \(I\), đường kính \(B E\).

b) Xét \(\Delta A E D\) và \(\Delta A B C\) có:

\(\hat{B A C}\) chung

\(\hat{A D E} = \hat{A C B} = 9 0^{\circ}\)

Suy ra \(\Delta A E D \sim \Delta A B C\) (g.g)

Suy ra \(\frac{A E}{A B} = \frac{A D}{A C}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) hay \(A C . A E = A D . A B\).

Mà \(D\) là trung điểm của \(A O\) (gt) suy ra \(A D = \frac{1}{2} A O\)

\(O\) là tâm đường tròn đường kính \(A B\) (gt) nên \(A O = \frac{1}{2} A B\)

Suy ra \(A D = \frac{1}{2} A O = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} A B = \frac{1}{4} A B\)

Do đó, \(A C . A E = \frac{1}{4} A B . A B = \frac{A B^{2}}{4}\) (đpcm).

a) Vì \(A M , C N\) là các đường cao của \(\Delta A B C\) nên \(A M ⊥ B C\) và \(C N ⊥ A B\)

Suy ra \(\hat{B M H} = \hat{B N H} = 9 0^{\circ}\).

Gọi \(F\) là trung điểm của \(H B\).

Xét tam giác \(H N B\) có \(\hat{H N B} = 9 0^{\circ}\) và \(N F\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(F N = F H = F B = \frac{1}{2} B H\) (1)

Xét tam giác \(H M B\) có \(\hat{H M B} = 9 0^{\circ}\) và \(M F\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(F M = F H = F B = \frac{1}{2} B H\) (2)

Suy ra \(B N H M\) là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm \(F\), đường kính \(H B\).

Do đó \(\hat{M B N} + \hat{N H M} = 18 0^{\circ}\) (tổng hai góc đối bằng \(18 0^{\circ}\).

hay \(\hat{C B A} + \hat{N H M} = 18 0^{\circ}\).

Mà \(\hat{M B N} + \hat{N H M} = 18 0^{\circ}\) (hai góc kề bù) do đó \(\hat{C B A} = \hat{M B N}\).

b) Tứ giác \(B N H M\) nội tiếp nên \(\hat{M B N} + \hat{N H M} = 18 0^{\circ}\)

Mà \(\hat{A H C} = \hat{N H M}\) (đối đỉnh) nên \(\hat{M B N} + \hat{A H C} = 18 0^{\circ}\) hay \(\hat{A B C} + \hat{A H C} = 18 0^{\circ}\)

Mặt khác tứ giác \(B N H M\) nội tiếp đường tròn tâm \(\left(\right. O \left.\right)\) nên \(\hat{A D C} + \hat{A B C} = 18 0^{\circ}\).

Do đó \(\hat{A D C} = \hat{A H C}\).

c) Gọi \(E\) là trung điểm \(A C\).

Xét tam giác \(A M C\) có \(\hat{A M C} = 9 0^{\circ}\) và \(M E\) là đường trung tuyến nên \(E M = E C = E A = \frac{1}{2} A C\) (3) 

Xét tam giác \(A N C\) có \(\hat{A N C} = 9 0^{\circ}\) và \(N E\) là đường trung tuyến nên \(E N = E C = E A = \frac{1}{2} A C\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(E M = E N = E C = E A\).

Vậy tứ giác \(A C M N\) nội tiếp được đường tròn có tâm \(E\) đường kính \(A C\).

Suy ra \(\hat{M A C} = \hat{M N C}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(M C\) của đường tròn tâm \(E\)).

d) Ta có \(\hat{M A C} + \hat{A C M} = 9 0^{\circ}\) (hai góc phụ nhau)

Hay \(\hat{A C M} = 9 0^{\circ} - \hat{M A C}\)

Mà \(\hat{A C M} + \hat{A N M} = 18 0^{\circ}\) (tứ giác \(A C M N\) nội tiếp được đường tròn) nên \(9 0^{\circ} - \hat{M A C} + \hat{A N M} = 18 0^{\circ}\)

Suy ra \(\hat{M A C} + 9 0^{\circ} = \hat{A N M}\).

a) Xét đường tròn \(\left(\right. I \left.\right)\) có \(\hat{C F B} = 9 0^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(C F ⊥ A B\).

\(\hat{C F B} = 9 0^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(B E ⊥ A C\)

Mà \(C F\) cắt \(B E\) tại \(H\) nên \(H\) là trực tâm của tam giác \(A B C\)

Hay \(A H ⊥ B C\), suy ra \(\hat{H D B} = 9 0^{\circ}\)

Gọi \(K\) là trung điểm \(B H\).

Xét tam giác \(H D B\) có \(\hat{H D B} = 9 0^{\circ}\) và \(D K\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(K D = K H = K B = \frac{1}{2} B H\) (1)

Xét tam giác \(H F B\) có \(\hat{H F B} = 9 0^{\circ}\) và \(E K\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(K E = K H = K B = \frac{1}{2} H B\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(K B = K H = K F = K D\).

Vậy tứ giác \(B F H D\) nội tiếp được đường tròn có tâm \(K\) đường kính \(B H\).

b)  Gọi \(O\) là trung điểm \(A B\).

Xét tam giác \(A D B\) có \(\hat{A D B} = 9 0^{\circ}\) và \(D O\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(O D = O A = O B = \frac{1}{2} A B\) (3)

Xét tam giác \(A E B\) có \(\hat{A E B} = 9 0^{\circ}\) và \(E O\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(O E = O A = O B = \frac{1}{2} A B\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(O D = O E = O A = O B\).

Vậy tứ giác \(A B D E\) nội tiếp được đường tròn có tâm \(O\) đường kính \(A B\).

a) Chứng minh \(B C D E\) là tứ giác nội tiếp.

Gọi \(O\) là trung điểm \(B C\).

Vì \(B D , C E\) là các đường cao của \(\Delta A B C\) nên \(B D ⊥ A C\) và \(C E ⊥ A B\)

Suy ra \(\hat{B D C} = \hat{B E C} = 9 0^{\circ}\).

Xét tam giác \(B D C\) có \(\hat{B D C} = 9 0^{\circ}\) và \(D O\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(O D = O C = O B = \frac{1}{2} B C\) (1)

Xét tam giác \(B E C\) có \(\hat{B E C} = 9 0^{\circ}\) và \(E O\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(O E = O C = O B = \frac{1}{2} B C\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(O D = O E = O C = O B\).

Vậy tứ giác \(B C D E\) nội tiếp được đường tròn có tâm \(O\) là trung điểm \(B C\).

b) Chứng minh \(A D H E\) là tứ giác nội tiếp.

Vì \(B D , C E\) là các đường cao của \(\Delta A B C\) nên \(B D ⊥ A C\) và \(C E ⊥ \&\text{nbsp}; A B\).

Gọi \(M\) là trung điểm \(A H\) (học sinh tự vẽ thêm trên hình)

Xét tam giác \(A D H\) có \(\hat{A D H} = 9 0^{\circ}\) và \(D M\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(M D = M A = M H = \frac{1}{2} A H\) (3)

Xét tam giác \(A E H\) có \(\hat{A E H} = 9 0^{\circ}\) và \(E M\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(M E = M A = M H = \frac{1}{2} A H\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(A D H E\) là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm \(M\) là trung điểm \(A H\), đường kính \(A H\).

a) Cỡ mẫu là 40.

Bảng tần số và tần số tương đối:

b)

c) Cửa hàng trên nhập về để bán cỡ giày 40; 41 nhiều nhất, cỡ giày 44 ít nhất vì cỡ giày 40; 41 có nhiều người mua nhất, cỡ giày 44 có ít người mua nhất.

a) Bảng tần số và tần số tương đối: 

b, Biểu đồ hình quạt tròn cho mẫu số liệu trên là:

a) Có 6 giá trị khác nhau.

b) Trong số 40 số liệu thống kê, có: 5 lần quay vào số 1, 6 lần quay vào số 6, 8 lần quay vào số 3, 7 lần quay vào số 4, 7 lần quay vào số 5 và 7 lần quay vào số 6.

Bảng tần số của mẫu số liệu thống kê:

Biểu đồ dạng cột của tần số mẫu số liệu có dạng:

c) Các giá trị 1, 2, 3, 4, 5, 6 có tần số tương đối lần lượt là:

Bảng tần số tương đối:

Biểu đồ dạng cột của tần số tương đối mẫu số liệu có dạng:

Biểu đồ dạng quạt tròn của tần số tương đối mẫu số liệu có dạng:

Số liệu không chính xác ở đây là \(15 \%\). Sửa lại thành \(12 \%\) vì \(\frac{6}{24 + 16 + 6 + 4} . 100\)

Câu 1:

- Bài thơ "Bà má Hậu Giang" của Tố Hữu được viết theo thể thơ Tự do

Câu 2:

- Sự việc đã xảy ra trong bài thơ "Bà má Hậu Giang" đó là khi một thằng giặc, mắt xanh mũi lõ, cầm gươm dài tuốt vỏ cầm tay xông vào túp lều tranh trong lúc má đang thổi cơm và đạp rơi liếp mành, hung hãn đe dọa má để má khai ra tung tích của đội du kích. Tên giặc đó hung hăng giẫm chân lên đầu má, kề gươm sắc lạnh vào hông nhưng má quyết không khai, để bảo vệ cho đội du kích và nghĩa quân.

Câu 3:

- Những hành động của tên giặc trong bài thơ "Bà má Hậu Giang" thể hiện sự tàn ác của hắn: nghênh ngang xông vào túp lều tranh; đạp rơi liếp mành; đốc gươm dài tuốt vỏ cầm tay; rướn cổ, giương mi, trơn mắt; trừng trừng trông ngược trông xuôi; rống hét đe dọa má; đạp chân lên đầu và còn kề gươm vào hông. Tất cả những hành động được miêu tả đã cho người đọc thấy một tên cướp nước hung tàn, đáng sợ, dã man và vô nhân tính.

Câu 4:

Bài thơ "Bà má Hậu Giang" đã gây ấn tượng mạnh mẽ với bạn đọc không chỉ bởi tinh thần yêu nước, bất khuất được thể hiện mà còn bởi những nghệ thuật đặc sắc, đặc biệt là biện pháp tu từ so sánh được sử dụng đầy ấn tượng trong hai câu thơ:

"Con tao, gan dạ anh hùng
Như rừng đước mạnh, như rừng chàm thơm!"

Trong câu thơ, qua lời nói của má, sự "gan dạ anh hùng" của các con được ví "mạnh" giống như "rừng đước" và "thơm" tựa "rừng chàm"; sự so sánh này đã làm cho cách diễn đạt của câu thơ trở nên vô cùng đặc sắc. Trước hết, so sánh giúp cho câu thơ trở giàu sức gợi hình, gợi cảm hơn và cho độc giả nhiều liên tưởng. Hơn nữa, nó cũng giúp nhấn mạnh, làm nổi bật được vẻ đẹp của những người con anh hùng của bà má Hậu Giang - những người lính du kích đang chiến đấu quên mình vì Tổ quốc ngoài chiến trận. Ví lòng can đảm, gan dạ của những người lính "mạnh" như "rừng đước" là tôn vinh vẻ đẹp của sức mạnh, của lòng yêu nước của các chiến sĩ chiến đấu vì độc lập, tự do. Rừng đước vốn là loại rừng ngập mặn, cây đước thì là những cây phải chịu ảnh hưởng từ nước mặn xâm nhập mà vẫn vươn cao, phát triển tạo nên cánh rừng bát ngát, hài hòa; các chiến sĩ cũng vậy - cũng là những người mạnh mẽ, can đảm, dù gian khó vẫn kiên cường, bất khuất, vẫn hết mình chiến đấu cho một ngày mai hòa bình. Còn nói các con "thơm" tự "rừng chàm" là má muốn ca ngợi vẻ đẹp tâm hồn các chiến sĩ; dù trong gian khó, dù phải hi sinh tuổi xuân, dù đối mặt với quân thù, những cám dỗ thì họ vẫn lạc quan, vẫn mạnh mẽ bước tiếp, vẫn giữ được tấm lòng yêu nước nồng nàn và sự thảo thơm, tinh thần đoàn kết. Đồng thời, cách diễn đạt này cho độc giả cảm nhận được tình yêu thương, sự tin tưởng tuyệt đối ở các con, tin các con sẽ mang hòa bình, tự do trở lại và cả niềm tự hào dành cho những đứa con ngoài chiến trường. Qua đó, tác giả cũng muốn gửi lời nhắn đến mỗi bạn đọc rằng hòa bình hôm nay không phải dễ dàng mà có, ta phải biết trân trọng và gìn giữ hòa bình ấy!

Câu 5:

Đọc bài thơ "Bà má Hậu Giang" của Tố Hữu, tôi cảm thấy thật tự hào, biết ơn và thêm yêu đất nước thân yêu của mình - nơi có tình yêu nước nồng nàn của mọi thế hệ luôn cháy bỏng, ngọn lửa của lòng yêu nước được truyền từ thế hệ cha anh tới tận bây giờ và chắc chắn sẽ là mãi về sau nữa. Qua hình ảnh bà má trong bài thơ, tôi thấy được trong đó vừa là tinh thần bất khuất, kiên cường, dũng cảm khi đương đầu với kẻ thù; cũng vừa là lòng yêu nước nồng nàn, sẵn sàng hy sinh thân mình vì Tổ quốc. Bà má trong bài thơ cũng chính là đại diện cho những người mẹ Việt Nam anh hùng, hay là những người ở hậu phương; họ cũng mang trong mình tinh thần yêu nước mãnh liệt nhưng họ không yêu nước bằng cách cầm súng ra trận như các chiến sĩ, mà họ vững lòng yêu nước bằng cách ở phía sau tương trợ, là chỗ dựa vững chắc cho các chiến sĩ ngoài tiền tuyến, họ yêu nước bằng tinh thần bất khuất, sẵn sàng hi sinh mình để đảm bảo các chiến sĩ du kích an toàn, không bị lộ tung tích. Trước hết, những điều ấy làm trong tôi dâng lên sự tự hào vô bờ về lòng yêu nước qua bao thế hệ của dân tộc ta, tự hào vì mình được là người Việt Nam, được là một trong hàng triệu con tim cháy bỏng niềm tự hào và lòng yêu nước dành cho Tổ quốc, và tự hào vì được tiếp bước truyền thống tốt đẹp của dân tộc. Đồng thời, tinh thần yêu nước ấy cũng là lời nhắc nhở với không chỉ tôi mà còn là với tất cả các bạn trẻ hôm nay, rằng phải luôn vững lòng yêu nước, phải nỗ lực hơn nữa, cố gắng hơn nữa để hoàn thiện bản thân mình để góp công vào xây dựng quê hương thêm mạnh giàu, phát triển; đặc biệt, phải lan tỏa lòng yêu nước để duy trì cho ngọn đuốc sáng ngời từ bao đời nay sẽ rực cháy mãi!