Ta có

BMAM=BCAC=abAMBM​=ACBC​=ba​ (Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy)

CNAN=BCAB=abANCN​=ABBC​=ba​ (Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy)

⇒BMAM=CNAN⇒BMCN=AMAN⇒AMBM​=ANCN​⇒CNBM​=ANAM​ => MN//BC (Talet)

⇒AMAB=MNBC⇒AMb=MNa⇒ABAM​=BCMN​⇒bAM​=aMN​  (1)

Ta có

AMBM=ACBC=baBMAM​=BCAC​=ab​ (Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy)

⇒AMb=BMa=AM+BMa+b=ABa+b=ba+b⇒bAM​=aBM​=a+bAM+BM​=a+bAB​=a+bb​

⇒AM=b2a+b⇒AM=a+bb2​ Thay vào (1)

⇒b2a+bb=MNa⇒ba+b=MNa⇒MN=aba+b⇒ba+bb2​​=aMN​⇒a+bb​=aMN​⇒MN=a+bab​
 

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AB=AC=12$ cm.

​a) Xét tam giác $ABC$, áp dụng tính chất tia phân giác ta có:

����=����=126=2DBAD​=CBAC​=612​=2

Suy ra ����=23ABAD​=32​ suy ra ��=23.12=8AD=32​.12=8 (cm)

Do đó, $DB=12-8=4$ (cm).

b) Do $CE$ vuông góc với phân giác $CD$ nên $CE$ là phân giác ngoài tại đỉnh $C$ của tam giác $ABC$.

Vậy ����=����EAEB​=ACBC​ hay ����+��=����EB+BAEB​=ACBC​

Gọi độ dài $EB$ là $x$ thì ��+12=612x+12x​=126​.

Vậy $x=12$ (cm).

Ta có

BC⊥AB′;B′C′⊥AB′BC⊥AB′;B′C′⊥AB′ => BC//B'C'

⇒ABAB′=BCB′C′⇒xx+h=aa′⇒AB′AB​=B′C′BC​⇒x+hx​=a′a​

⇒a′x=ax+ah⇒x(a′−a)=ah⇒x=aha′−a(dpcm)⇒a′x=ax+ah⇒x(a′−a)=ah⇒x=a′−aah​(dpcm)

Trong tam giác $ADB$, ta có: $MN$ // $AB$ (gt)

Suy ra DNDB =MNABDBDN​ =ABMN​ (hệ quả định lí Thalès) (1)

Trong tam giác $ACB$, ta có: $PQ$ // $AB$ (gt)

Suy ra CQCB =PQABCBCQ​ =ABPQ​ (hệ quả định lí Thalès) (2)

Lại có: $NQ$ // $AB$ (gt); $AB$ // $CD$ (gt)

Suy ra $NQ$ // $CD$

Trong tam giác $BDC$, ta có: $NQ$ // $CD$ (chứng minh trên)

Suy ra DNDB =CQCBDBDN​ =CBCQ​ (định lí Thalès) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MNAB =PQAB hayABMN​ =ABPQ​ hayMN = PQ$ (đpcm).

Khi đó, $AD$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$.

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên điểm $G$ nằm trên cạnh $AD$.

Ta có AGAD=23ADAG​=32​ hay AG=23ADAG=32​AD.

Vì $MG$ // $AB$, theo định lí Thalès, ta suy ra: AGAD=BMBD=23ADAG​=BDBM​=32​.

Ta có $BD=CD$ (vì $D$ là trung điểm của cạnh $BC$) nên BMBC=BM2BD=22.3=13BCBM​=2BDBM​=2.32​=31​.

Do đó BM=13BCBM=31​BC (đpcm).

Áp dụng định lí Thalès, ta có:

• Vì DE // AC nên 
A
E
A
B
=
C
D
B
C
𝐴
E
𝐴
𝐵
=
𝐶
D
𝐵
𝐶

• Vì DF // AB nên 
A
F
A
C
=
B
D
B
C
𝐴
𝐹
𝐴
𝐶
=
𝐵
D
𝐵
𝐶

Khi đó, 
A
E
A
B
+
A
F
A
C
=
C
D
B
C
+
B
D
B
C
=
1
𝐴
E
𝐴
𝐵
+
𝐴
𝐹
𝐴
𝐶
=
𝐶
D
𝐵
𝐶
+
𝐵
D
𝐵
𝐶
=
1
 (đpcm)