a) Do \(A B , A C\) là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) nên \(\hat{A B O} = \hat{A C O} = 9 0^{\circ}\).

Gọi \(I\) là trung điểm \(O A\).

Xét tam giác \(O A B\) vuông tại \(B\) có \(B I\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(I B = I A = I O = \frac{1}{2} A O\) (1)

Xét tam giác \(O A C\) vuông tại \(C\) có \(C I\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(I C \&\text{nbsp}; = I A = I O = \frac{1}{2} A O\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(I B = I C = I A = I O\).

Suy ra \(B , C\) thuộc đường tròn tâm \(I\) đường kính \(O A\).

b) Ta có \(A M . A O = \frac{A B}{2} . 2 A I = A B . A I\).

c) Gọi \(E\) là trung điểm \(M A\), do \(G\) là trọng tâm \(\Delta C M A\) nên \(G \in C E\) và \(\frac{G E}{C E} = \frac{1}{3}\).

Mặt khác \(\frac{M E}{B E} = \frac{1}{3}\) \(\left(\right.\)vì \(M E = \frac{M A}{2} = \frac{M B}{2}\) nên \(M E = \frac{B E}{3} \left.\right)\)

Suy ra \(\frac{G E}{C E} = \frac{M E}{B E}\), theo định lí Thalès đảo ta có:

\(M G\) // \(B C\).

d) Gọi \(G^{'}\) là giao điểm của \(O A\) và \(C M\) suy ra \(G^{'}\) là trọng tâm \(\Delta A B C\).

Nên \(\frac{G^{'} M}{C M} = \frac{1}{3} = \frac{G E}{C E^{'}}\)

Theo định lý Thalès đảo ta có \(G G^{'}\) // \(M E\) (1)

\(M I\) là đường trung bình trong \(\Delta O A B\) suy ra \(M I\) // \(O B\), mà \(A B ⊥ O B\) (cmt) nên \(M I ⊥ A B\), nghĩa là \(M I ⊥ M E\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(M I ⊥ G G^{'}\),

Lại có \(G I^{'} ⊥ M K\) (vì \(O A ⊥ M K\)) nên \(I\) là trực tâm \(\Delta M G G^{'}\)

Suy ra \(G I ⊥ G^{'} M\) tức là \(G I ⊥ C M\).

a) Tứ giác BCED nội tiếp, C thuộc đường tròn đường kính AB suy ra ACB=90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(\hat{E C B} = 9 0^{\circ}\).

Mặt khác \(E D ⊥ A B\) tại \(D\) (gt) suy ra \(\hat{E D B} = 9 0^{\circ}\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(B E\).

Xét tam giác \(B C E\) có \(\hat{B C E} = 9 0^{\circ}\) và \(C I\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(I C = I E = I B = \frac{1}{2} B E\).

Xét tam giác \(B E D\) có \(\hat{B D E} = 9 0^{\circ}\) và \(D I\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(I D = I E = I B = \frac{1}{2} B E\).

Suy ra \(B C E D\) là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm \(I\), đường kính \(B E\).

b) Xét \(\Delta A E D\) và \(\Delta A B C\) có:

\(\hat{B A C}\) chung

\(\hat{A D E} = \hat{A C B} = 9 0^{\circ}\)

Suy ra \(\Delta A E D \sim \Delta A B C\) (g.g)

Suy ra \(\frac{A E}{A B} = \frac{A D}{A C}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) hay \(A C . A E = A D . A B\).

Mà \(D\) là trung điểm của \(A O\) (gt) suy ra \(A D = \frac{1}{2} A O\)

\(O\) là tâm đường tròn đường kính \(A B\) (gt) nên \(A O = \frac{1}{2} A B\)

Suy ra \(A D = \frac{1}{2} A O = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} A B = \frac{1}{4} A B\)

Do đó, \(A C . A E = \frac{1}{4} A B . A B = \frac{A B^{2}}{4}\) (đpcm).

a) Chứng minh \(\hat{A B C} = \hat{C H M}\).

Vì \(A M , C N\) là các đường cao của \(\Delta A B C\) nên \(A M ⊥ B C\) và \(C N ⊥ A B\)

Suy ra \(\hat{B M H} = \hat{B N H} = 9 0^{\circ}\).

Gọi \(F\) là trung điểm của \(H B\).

Xét tam giác \(H N B\) có \(\hat{H N B} = 9 0^{\circ}\) và \(N F\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(F N = F H = F B = \frac{1}{2} B H\) (1)

Xét tam giác \(H M B\) có \(\hat{H M B} = 9 0^{\circ}\) và \(M F\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(F M = F H = F B = \frac{1}{2} B H\) (2)

Suy ra \(B N H M\) là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm \(F\), đường kính \(H B\).

Do đó \(\hat{M B N} + \hat{N H M} = 18 0^{\circ}\) (tổng hai góc đối bằng \(18 0^{\circ}\).

hay \(\hat{C B A} + \hat{N H M} = 18 0^{\circ}\).

Mà \(\hat{M B N} + \hat{N H M} = 18 0^{\circ}\) (hai góc kề bù) do đó \(\hat{C B A} = \hat{M B N}\).

b) Chứng minh \(\hat{A D C} = \hat{A H C}\).

Tứ giác \(B N H M\) nội tiếp nên \(\hat{M B N} + \hat{N H M} = 18 0^{\circ}\)

Mà \(\hat{A H C} = \hat{N H M}\) (đối đỉnh) nên \(\hat{M B N} + \hat{A H C} = 18 0^{\circ}\) hay \(\hat{A B C} + \hat{A H C} = 18 0^{\circ}\)

Mặt khác tứ giác \(B N H M\) nội tiếp đường tròn tâm \(\left(\right. O \left.\right)\) nên \(\hat{A D C} + \hat{A B C} = 18 0^{\circ}\).

Do đó \(\hat{A D C} = \hat{A H C}\).

c) Chứng minh \(\hat{M A C} = \hat{M N C}\).

Ta chứng minh \(A C M N\) là tứ giác nội tiếp.

Gọi \(E\) là trung điểm \(A C\).

Xét tam giác \(A M C\) có \(\hat{A M C} = 9 0^{\circ}\) và \(M E\) là đường trung tuyến nên \(E M = E C = E A = \frac{1}{2} A C\) (3) 

Xét tam giác \(A N C\) có \(\hat{A N C} = 9 0^{\circ}\) và \(N E\) là đường trung tuyến nên \(E N = E C = E A = \frac{1}{2} A C\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(E M = E N = E C = E A\).

Vậy tứ giác \(A C M N\) nội tiếp được đường tròn có tâm \(E\) đường kính \(A C\).

Suy ra \(\hat{M A C} = \hat{M N C}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(M C\) của đường tròn tâm \(E\)).

d) Chứng minh \(\hat{M A C} + 9 0^{\circ} = \hat{A N M}\).

Ta có \(\hat{M A C} + \hat{A C M} = 9 0^{\circ}\) (hai góc phụ nhau)

Hay \(\hat{A C M} = 9 0^{\circ} - \hat{M A C}\)

Mà \(\hat{A C M} + \hat{A N M} = 18 0^{\circ}\) (tứ giác \(A C M N\) nội tiếp được đường tròn) nên \(9 0^{\circ} - \hat{M A C} + \hat{A N M} = 18 0^{\circ}\)

Suy ra \(\hat{M A C} + 9 0^{\circ} = \hat{A N M}\).

a) Chứng minh tứ giác \(B F H D\) nội tiếp.

Xét đường tròn \(\left(\right. I \left.\right)\) có \(\hat{C F B} = 9 0^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(C F ⊥ A B\).

\(\hat{C F B} = 9 0^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(B E ⊥ A C\)

Mà \(C F\) cắt \(B E\) tại \(H\) nên \(H\) là trực tâm của tam giác \(A B C\)

Hay \(A H ⊥ B C\), suy ra \(\hat{H D B} = 9 0^{\circ}\)

Gọi \(K\) là trung điểm \(B H\).

Xét tam giác \(H D B\) có \(\hat{H D B} = 9 0^{\circ}\) và \(D K\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(K D = K H = K B = \frac{1}{2} B H\) (1)

Xét tam giác \(H F B\) có \(\hat{H F B} = 9 0^{\circ}\) và \(E K\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(K E = K H = K B = \frac{1}{2} H B\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(K B = K H = K F = K D\).

Vậy tứ giác \(B F H D\) nội tiếp được đường tròn có tâm \(K\) đường kính \(B H\).

b) Chứng minh tứ giác \(A B D E\) nội tiếp.

Gọi \(O\) là trung điểm \(A B\).

Xét tam giác \(A D B\) có \(\hat{A D B} = 9 0^{\circ}\) và \(D O\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(O D = O A = O B = \frac{1}{2} A B\) (3)

Xét tam giác \(A E B\) có \(\hat{A E B} = 9 0^{\circ}\) và \(E O\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(O E = O A = O B = \frac{1}{2} A B\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(O D = O E = O A = O B\).

Vậy tứ giác \(A B D E\) nội tiếp được đường tròn có tâm \(O\) đường kính \(A B\).

a) Chứng minh \(B C D E\) là tứ giác nội tiếp.

Gọi \(O\) là trung điểm \(B C\).

Vì \(B D , C E\) là các đường cao của \(\Delta A B C\) nên \(B D ⊥ A C\) và \(C E ⊥ A B\)

Suy ra \(\hat{B D C} = \hat{B E C} = 9 0^{\circ}\).

Xét tam giác \(B D C\) có \(\hat{B D C} = 9 0^{\circ}\) và \(D O\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(O D = O C = O B = \frac{1}{2} B C\) (1)

Xét tam giác \(B E C\) có \(\hat{B E C} = 9 0^{\circ}\) và \(E O\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(O E = O C = O B = \frac{1}{2} B C\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(O D = O E = O C = O B\).

Vậy tứ giác \(B C D E\) nội tiếp được đường tròn có tâm \(O\) là trung điểm \(B C\).

b) Chứng minh \(A D H E\) là tứ giác nội tiếp.

Vì \(B D , C E\) là các đường cao của \(\Delta A B C\) nên \(B D ⊥ A C\) và \(C E ⊥ \&\text{nbsp}; A B\).

Gọi \(M\) là trung điểm \(A H\) (học sinh tự vẽ thêm trên hình)

Xét tam giác \(A D H\) có \(\hat{A D H} = 9 0^{\circ}\) và \(D M\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(M D = M A = M H = \frac{1}{2} A H\) (3)

Xét tam giác \(A E H\) có \(\hat{A E H} = 9 0^{\circ}\) và \(E M\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(M E = M A = M H = \frac{1}{2} A H\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(A D H E\) là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm \(M\) là trung điểm \(A H\), đường kính \(A H\).

a) Có 6 giá trị khác nhau. 

b) Trong số 40 số liệu thống kê, có: 5 lần quay vào số 1, 6 lần quay vào số 6, 8 lần quay vào số 3, 7 lần quay vào số 4, 7 lần quay vào số 5 và 7 lần quay vào số 6. 

Bảng tần số của mẫu số liệu thống kê:

Biểu đồ dạng cột của tần số mẫu số liệu có dạng:

c) Các giá trị 1, 2, 3, 4, 5, 6 có tần số tương đối lần lượt là:

Bảng tần số tương đối:

Biểu đồ dạng cột của tần số tương đối mẫu số liệu có dạng:

Biểu đồ dạng quạt tròn của tần số tương đối mẫu số liệu có dạng:

Số liệu không chính xác ở đây là \(15 \%\). Sửa lại thành \(12 \%\) vì \(\frac{6}{24 + 16 + 6 + 4} . 100\)

Bảng số liệu đúng sau khi sửa lại:

a) Bảng tần số và tần số tương đối: 

b)

a)Cỡ mẫu là 40.

Bảng tần số và tần số tương đối:

b)

c) Cửa hàng trên nhập về để bán cỡ giày 40; 41 nhiều nhất, cỡ giày 44 ít nhất vì cỡ giày 40; 41 có nhiều người mua nhất, cỡ giày 44 có ít người mua nhất.

Câu 1:

Nhân vật bà má Hậu Giang trong bài thơ cùng tên của Tố Hữu là hình tượng tiêu biểu cho người mẹ Nam Bộ giàu lòng yêu nước, gan góc và kiên trung trong kháng chiến. Bà má hiện lên trong túp lều tranh nghèo nàn, thân hình gầy yếu, mái đầu bạc, nhưng trái tim lại chan chứa tình thương và ý chí sắt đá. Khi tên giặc hung ác xông vào nhà, tra khảo, đánh đập, kề gươm vào người để ép khai nơi ở của du kích, bà vẫn kiên quyết không nói, thà chết chứ không phản bội Tổ quốc. Trong khoảnh khắc cận kề cái chết, lời bà vẫn hướng về “các con ở trong rừng U Minh”, bộc lộ tấm lòng yêu thương, niềm tin và ý chí sắt son với cách mạng. Ở bà hội tụ vẻ đẹp của người mẹ Việt Nam – hiền hậu, giàu đức hi sinh, nhưng cũng vô cùng gan góc, kiên cường. Qua hình tượng bà má Hậu Giang, Tố Hữu không chỉ ngợi ca phẩm chất cao đẹp của người phụ nữ Nam Bộ mà còn khẳng định sức mạnh, tinh thần bất khuất của nhân dân Việt Nam trong cuộc đấu tranh chống giặc ngoại xâm, bảo vệ độc lập, tự do cho Tổ quốc.

Câu 2:

Trong bài thơ “Bà má Hậu Giang” của Tố Hữu, hình ảnh người mẹ Nam Bộ hiện lên thật kiên cường và bất khuất: thà hi sinh chứ không khai nơi ở của du kích, quyết bảo vệ con, bảo vệ cách mạng. Câu chuyện cảm động ấy không chỉ ca ngợi tinh thần yêu nước của thế hệ đi trước mà còn gợi cho thế hệ trẻ hôm nay suy nghĩ sâu sắc về trách nhiệm của mình đối với đất nước trong thời đại mới.

Trách nhiệm là ý thức và hành động tự giác của mỗi người trong việc thực hiện bổn phận của mình đối với gia đình, xã hội và Tổ quốc. Trách nhiệm với đất nước là biết sống có lý tưởng, góp phần xây dựng và bảo vệ quê hương bằng chính sức trẻ và khả năng của bản thân.

Thế hệ trẻ hôm nay được sống trong hòa bình, cần hiểu rằng độc lập, tự do là thành quả của bao máu xương. Vì thế, thanh niên phải ra sức học tập, rèn luyện đạo đức, nâng cao tri thức để trở thành công dân có ích, góp phần xây dựng đất nước giàu mạnh. Nhiều bạn trẻ hiện nay đã nỗ lực khởi nghiệp, sáng tạo khoa học, tình nguyện về vùng sâu vùng xa, tham gia bảo vệ môi trường – đó là những biểu hiện đẹp của tinh thần trách nhiệm.

Mỗi người trẻ cần xác định lý tưởng sống đúng đắn, biết yêu nước bằng hành động cụ thể: học tập tốt, sống nhân ái, chấp hành pháp luật, gìn giữ văn hóa dân tộc và sẵn sàng cống hiến khi Tổ quốc cần.

Tuy nhiên, hiện nay vẫn còn một bộ phận giới trẻ sống thờ ơ, lười biếng, chỉ biết hưởng thụ, thiếu ý thức với cộng đồng. Điều đó làm giảm sức mạnh của tuổi trẻ và đi ngược lại truyền thống dân tộc.

Mỗi người trẻ Việt Nam hôm nay cần nhận ra rằng: bảo vệ và xây dựng đất nước không chỉ là nghĩa vụ mà còn là niềm vinh dự thiêng liêng. Hãy sống có lý tưởng, có trách nhiệm, để xứng đáng với sự hi sinh của bao thế hệ cha anh – những con người như bà má Hậu Giang đã dành trọn cuộc đời mình cho Tổ quốc.