1. Xét tam giác ADC:
   • Vì ABCD là hình bình hành nên AB//CDcap A cap B / / cap C cap D𝐴𝐵//𝐶𝐷và AD//BCcap A cap D / / cap B cap C𝐴𝐷//𝐵𝐶.
   • Ncap N𝑁là trung điểm của CDcap C cap D𝐶𝐷.
   • Do AD⟂ACcap A cap D ⟂ cap A cap C𝐴𝐷⟂𝐴𝐶nên tam giác ADCcap A cap D cap C𝐴𝐷𝐶là tam giác vuông tại Acap A𝐴.
   • Trong tam giác vuông ADCcap A cap D cap C𝐴𝐷𝐶, đường trung tuyến ANcap A cap N𝐴𝑁ứng với cạnh huyền ACcap A cap C𝐴𝐶nên AN=12ACcap A cap N equals one-half cap A cap C𝐴𝑁=12𝐴𝐶.
   • Tương tự, trong tam giác ABCcap A cap B cap C𝐴𝐵𝐶, AMcap A cap M𝐴𝑀là trung tuyến ứng với cạnh huyền ACcap A cap C𝐴𝐶nên AM=12ACcap A cap M equals one-half cap A cap C𝐴𝑀=12𝐴𝐶.
   • Do đó AN=AM=12ACcap A cap N equals cap A cap M equals one-half cap A cap C𝐴𝑁=𝐴𝑀=12𝐴𝐶.
2. Xét tam giác ADC:
   • Ncap N𝑁là trung điểm của CDcap C cap D𝐶𝐷.
   • Do AD⟂ACcap A cap D ⟂ cap A cap C𝐴𝐷⟂𝐴𝐶nên tam giác ADCcap A cap D cap C𝐴𝐷𝐶là tam giác vuông tại Acap A𝐴.
   • Trong tam giác vuông ADCcap A cap D cap C𝐴𝐷𝐶, đường trung tuyến ANcap A cap N𝐴𝑁ứng với cạnh huyền ACcap A cap C𝐴𝐶nên AN=12ACcap A cap N equals one-half cap A cap C𝐴𝑁=12𝐴𝐶.
   • Ta có AD⟂ACcap A cap D ⟂ cap A cap C𝐴𝐷⟂𝐴𝐶và AD=BCcap A cap D equals cap B cap C𝐴𝐷=𝐵𝐶.
   • Xét tam giác ADCcap A cap D cap C𝐴𝐷𝐶với Ncap N𝑁là trung điểm CDcap C cap D𝐶𝐷, ta suy ra ANcap A cap N𝐴𝑁là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền ACcap A cap C𝐴𝐶.
3. Cách khác:
   • Ta có AD⟂ACcap A cap D ⟂ cap A cap C𝐴𝐷⟂𝐴𝐶.
   • Do ABCDcap A cap B cap C cap D𝐴𝐵𝐶𝐷là hình bình hành, AD//BCcap A cap D / / cap B cap C𝐴𝐷//𝐵𝐶.
   • Suy ra BC⟂ACcap B cap C ⟂ cap A cap C𝐵𝐶⟂𝐴𝐶.
   • Xét tam giác ABCcap A cap B cap C𝐴𝐵𝐶có Mcap M𝑀là trung điểm ABcap A cap B𝐴𝐵và AM=12ACcap A cap M equals one-half cap A cap C𝐴𝑀=12𝐴𝐶.
   • Xét tam giác ADCcap A cap D cap C𝐴𝐷𝐶có Ncap N𝑁là trung điểm CDcap C cap D𝐶𝐷và AN=12ACcap A cap N equals one-half cap A cap C𝐴𝑁=12𝐴𝐶.
   • Do AD//BCcap A cap D / / cap B cap C𝐴𝐷//𝐵𝐶và M,Ncap M comma cap N𝑀,𝑁là trung điểm của AB,CDcap A cap B comma cap C cap D𝐴𝐵,𝐶𝐷nên MNcap M cap N𝑀𝑁là đường trung bình của hình bình hành ABCDcap A cap B cap C cap D𝐴𝐵𝐶𝐷.
   • Do AD⟂ACcap A cap D ⟂ cap A cap C𝐴𝐷⟂𝐴𝐶nên MN//ADcap M cap N / / cap A cap D𝑀𝑁//𝐴𝐷và MN⟂ACcap M cap N ⟂ cap A cap C𝑀𝑁⟂𝐴𝐶.

1. Chứng minh AMCNcap A cap M cap C cap N𝐴𝑀𝐶𝑁là hình bình hành:
   • Ncap N𝑁là trung điểm của CDcap C cap D𝐶𝐷và Mcap M𝑀là trung điểm của ABcap A cap B𝐴𝐵.
   • Do ABCDcap A cap B cap C cap D𝐴𝐵𝐶𝐷là hình bình hành nên AB//CDcap A cap B / / cap C cap D𝐴𝐵//𝐶𝐷và AB=CDcap A cap B equals cap C cap D𝐴𝐵=𝐶𝐷.
   • Suy ra AM//NCcap A cap M / / cap N cap C𝐴𝑀//𝑁𝐶và AM=NCcap A cap M equals cap N cap C𝐴𝑀=𝑁𝐶(vì AM=12ABcap A cap M equals one-half cap A cap B𝐴𝑀=12𝐴𝐵và NC=12CDcap N cap C equals one-half cap C cap D𝑁𝐶=12𝐶𝐷).
   • Do đó, tứ giác AMCNcap A cap M cap C cap N𝐴𝑀𝐶𝑁là hình bình hành.
2. Chứng minh AMCNcap A cap M cap C cap N𝐴𝑀𝐶𝑁là hình chữ nhật:
   • Vì AD⟂ACcap A cap D ⟂ cap A cap C𝐴𝐷⟂𝐴𝐶nên ADcap A cap D𝐴𝐷và ACcap A cap C𝐴𝐶vuông góc với nhau.
   • Do AM//ADcap A cap M / / cap A cap D𝐴𝑀//𝐴𝐷và AM⟂ACcap A cap M ⟂ cap A cap C𝐴𝑀⟂𝐴𝐶.
   • Suy ra AM⟂ACcap A cap M ⟂ cap A cap C𝐴𝑀⟂𝐴𝐶.
   • Trong hình bình hành AMCNcap A cap M cap C cap N𝐴𝑀𝐶𝑁, nếu có một góc vuông thì đó là hình chữ nhật.
   • Do đó, tứ giác AMCNcap A cap M cap C cap N𝐴𝑀𝐶𝑁là hình chữ nhật.

hình thoi