Vì ABCD là hình bình hành nên ta có các tính chất sau: AB // CD và AD // BC. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, tức là OA = OC và OB = OD. a) Xét tam giác OMA và tam giác OPC: Ta có OA = OC (do O là trung điểm của AC). góc OAM = góc OCP (hai góc so le trong vì AB // CD). góc AOM = góc COP (hai góc đối đỉnh). Theo trường hợp bằng nhau góc-cạnh-góc (g.c.g), ta có tam giác OMA=tam giác OPC. Suy ra OM = OP (hai cạnh tương ứng). Xét tam giác OQA và tam giác ONC: Ta có OA = OC (do O là trung điểm của AC). Góc OAQ = góc OCN (hai góc so le trong vì AD // BC). góc AOQ = góc CON (hai góc đối đỉnh). Theo trường hợp bằng nhau góc-cạnh-góc (g.c.g), ta có tam giác OQA = tam giácqq ONC. Suy ra OQ = ON (hai cạnh tương ứng). Tứ giác MNPQ có hai đường chéo MP và QN cắt nhau tại O. Ta đã chứng minh được OM = OP và OQ = ON, nghĩa là O là trung điểm của cả hai đường chéo MP và QN. Do đó, tứ giác MNPQ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành: tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AB = CD. M là trung điểm của AB, N là trung điểm của CD. Do đó, AM = MB = ½AB và CN = ND = ½CD. Suy ra AM = MB = CN = ND. Vì AB // CD, nên AM // CN. a) Chứng minh MN vuông góc với AC. Xét tứ giác AMND: Ta có AM = ½AB và DN = ½DC. Vì AB=DC, nên AM=DN. Mặt khác, AB // DC, suy ra AM // DN. Tứ giác AMND có các cạnh đối AM và DN song song và bằng nhau, nên AMND là hình bình hành. Suy ra MN // AD. Theo giả thiết, AD vuông góc với AC. Vì MN // AD và AD vuông góc với AC, ta suy ra MN vuông góc với AC. b) Tứ giác AMCN là hình gì? Ta đã chứng minh AM // CN và AM = CN. Do đó, tứ giác AMCN là hình bình hành. Ta có MN // AC (chứng minh ở câu a). Một hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi. Vậy, tứ giác AMCN là hình thoi. Ngoài ra, ta có thể chứng minh như sau: Trong tam giác vuông ADC (vì AD vuông góc với AC), N là trung điểm của cạnh huyền CD. Do đó, AN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền. Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông, ta có AN = ½CD. Vì ABCD là hình bình hành, CD = AB. Do đó, AN = ½AB. M là trung điểm của AB, nên AM = ½AB. Suy ra AN = AM. Tứ giác AMCN là hình bình hành có hai cạnh kề AM và AN bằng nhau. Do đó, AMCN là hình thoi.

Vì ABCD là hình thoi, ta có: AB = AD (các cạnh bằng nhau). góc ABC = góc ADC (các góc đối bằng nhau). Đường chéo AC vuông góc với đường chéo BD tại O và AC là đường phân giác của góc BAD. Xét tam giác ABE và tam giác ADF, ta có: AB = AD (cạnh hình thoi). góc ABE = góc ABC và góc ADF = góc ADC. Do góc ABC = góc ADC, nên góc ABE = góc ADF. BE = DF (theo giả thiết). Suy ra \triangle ABE \cong \triangle ADF (theo trường hợp cạnh - góc - cạnh). Từ đó suy ra AE = AF và \angle BAE = \angle DAF. Vì AC là đường phân giác của \angle BAD nên \angle BAC = \angle DAC. Ta có: \angle GAC = \angle BAC - \angle BAE \angle HAC = \angle DAC - \angle DAF Vì \angle BAC = \angle DAC và \angle BAE = \angle DAF, ta có \angle GAC = HAC. Điều này chứng tỏ AC là đường phân giác của tam giác GAH. Trong tam giác AEF, ta có AE = AF, nên tam giác AEF cân tại A. Đường phân giác AC của góc EAF cũng là đường trung tuyến và đường cao hạ từ A. Vì G và H là giao điểm của AE và AF với BD, và AC vuông góc với BD, theo tính chất đối xứng qua đường thẳng AC, ta suy ra AG = AH và CG = CH. Xét tứ giác AGCH: Ta thấy hai đường chéo AC và GH cắt nhau tại O. Vì ABCD là hình thoi, O là trung điểm của BD. Do G và H nằm trên BD, và AE, AF đối xứng qua AC, nên G, H cũng đối xứng qua AC. Do đó, O là trung điểm của GH. Mặt khác, AC vuông góc với BD, suy ra AC vuông góc với GH. Tứ giác AGCH có hai đường chéo AC và GH cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và vuông góc với nhau. Vậy AGCH là hình thoi.