Tứ giác ABCD là hình bình hành nên BC // AD suy ra DBC=BDA

Xét ΔBON và ΔDOQ có:

DBC=BDA (cmt)

DO=BO (tính chất đường chéo trong hình bình hành)

DOQ=BON (đối đỉnh)

suy raΔBON=ΔDOQ (g.c.g)

suy raQO=ON

suy raO là trung điểm của QN (1)

Chứng minh tương tự ta có:

O là trung điểm của MP (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành

b,

Tứ giác MNPQ là hình bình hành có hai đường chéo MP vuông góc QN nên là hình thoi

a.Vì ABCD là hình bình hành

suy raAB//CD,AB=CD

suy raAM//DN,AM=12AB=12CD=DN

suy raAMND là hình bình hành

suy raAD//MN

Vì AD vuông góc AC

suy raMN vuông góc AC

b.Ta có: AM//CN,AM=12AB=12CD=CN

suy raAMCN là hình bình hành

Vì ACvuông gócMN

suy raAMCN là hình thoi

Gọi O là giao điểm của AC và BD thì AC vuông góc BD (do O là giao điểm của hai đường chéo của hình thoi)

Áp dụng định nghĩa, tính chất về góc và giả thiết và hình thoi ABCD, ta được:

AB = AD B=D BE = DF

Từ đó suy ra ΔABE = ΔADF (c.g.c)

Suy ra A1=A4 (hai góc tương ứng).

Mà AC là phân giác của A

=> A2=A3 (1)

Do đó AO là phân giác của HAG

Xét tam giác AGH có AO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên tam giác AGH cân tại A

Do ABCD là hình thoi nên AO = OC (tính chất đường chéo của hình thoi) (3)

Suy ra HO = OG )

Từ (1), (2), (3) suy ra: AHCG là hình thoi