Tứ giác ABCD là hình bình hành nên BC // AD ⇒ˆDBC=ˆBDA

Xét ΔBON và ΔDOQ có:

ˆDBC=ˆBDA (cmt)

DO=BO (tính chất đường chéo trong hình bình hành)

ˆDOQ=ˆBON (đối đỉnh)

⇒ΔBON=ΔDOQ (g.c.g)`

⇒QO=ON

⇒O là trung điểm của QN (1)

Chứng minh tương tự ta có:

O là trung điểm của MP (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành

b,

Tứ giác MNPQ là hình bình hành có hai đường chéo MP⊥QN nên là hình thoi

Gọi O  là giao điểm của AC  và BD  khi đó AC⊥BD  (Vì O  là giao điểm của hai đường chéo của hình thoi)

Xét ΔABE và ΔADF có:

AB = AD (Vì ABCD là hình thoi)

ˆB=ˆD      (Vì ABCD là hình thoi)

BE = DF (giả thiết)

Suy ra ΔABE=ΔADF(c.g.c)

Suy ra ˆA1=ˆA4  (hai góc tương ứng).

Mà AC là phân giác của ˆA⇒ˆA2=ˆA3.

Do đó AO là phân giác của ˆHAG.    (*)

Xét ΔAGH  có:

AO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên ΔAGH  cân tại A.

Suy ra HO = OG   (1)

Lại có AO = OC  ( Vì ABCD  là hình thoi có trung điểm O )    (2)

Từ (1) và (2)  suy ra AGCH  là hình bình hành. (**)

Từ (*)  và (**)  ta được tứ giác AGCH  là hình thoi. (đpcm)

Vì ABCD  là hình bình hành => {AB//CDAD//BC

Tứ giác AMCN có {AM=CNAM//CN⇒AMCN là hình bình hành (1)

Tứ giác AMND có {AM=DNAM//DN⇒AMND là hình bình hành

=> AD // MN, mà AD⊥AC⇒MN⊥AC (2)

Từ (1) và (2) => AMCN là hình thoi.