#LynX

Đáp án+Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:ABCD là hình bình hành

⇒AB//CD;BC//AD

Lại có: AC∩BD={O}

⇒O là trung điểm của AC,BD

Mặt khác;AB//CD

⇒BM//DP

⇒OMOP=OBOD=1( định lý Thales )

⇒O là trung điểm của MP

Chứng minh tương tự:

Ta có:BC//AD

⇒DQ//BN

⇒OQON=ODOB=1( định lý Thales )

⇒O là trung điểm của QN

Xét tứ giác MNPQ:

O là trung điểm của MP

O là trung điểm của QN

⇒MNPQ là hình bình hành

b) Ta có:MNPQ là hình bình hành

Mà MP⊥QN

⇒MNPQ là hình thoi

a)Vì M và N là trung điểm của AB và CD, nên theo tính chất của hình bình hành và tam giác, ta có:

- AM=MB
- CN=ND

Do AD⊥AC, nên AC là đường chéo của hình bình hành ABCD. Dùng định lý về trung điểm của đoạn thẳng trong hình bình hành, ta chứng minh:

- △AMC∼△DNC (góc tương ứng bằng nhau, các cạnh tương ứng tỉ lệ)

Từ đó suy ra MN sẽ vuông góc với AC.
b)Do MN là trung bình của AC (theo định lý trung bình), và vì AD⊥AC nên tứ giác AMCN sẽ là hình chữ nhật

ABCD là hình thoi

⇒AC⊥BD tại trung điểm của mỗi đường và BD là phân giác của ˆABC

⇒ΔADF=ΔABE (c.g.c)

⇒AF=AE và ˆAFD=ˆAEB

⇒ΔHFD=ΔGEB (g.c.g)

⇒HF=GE và DH=BG

Ta có:

AH+HF=AF

AG+GE=AE

Mà HF=GE và AF=AE

Nên AH=AG

⇒ΔCDH=ΔABG (c.g.c)

⇒CH=AG

⇒ΔADH=ΔCBG (c.g.c)

⇒AH=CG

Tứ giác AGCH có AG=CH và AH=CG

⇒AGCH là hình bình hành

Mà AC⊥GH

⇒AGCH là hình thoi.