Ta có \(z \geq y \geq x \geq 0\).

• Vì \(x \geq 0 , \textrm{ }\textrm{ } x - y \leq 0 , \textrm{ }\textrm{ } x - z \leq 0\) nên

\(x \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x - z \left.\right) \geq 0.\)

• Xét hai hạng còn lại:

\(y\left(\right.y-z\left.\right)\left(\right.y-x\left.\right)+z\left(\right.z-x\left.\right)\left(\right.z-y\left.\right)=\left(\right.z-y\left.\right)\left[\right.z\left(\right.z-x\left.\right)-y\left(\right.y-x\left.\right)\left]\right..\)

Do \(z - y \geq 0\), lại có

\(z \left(\right. z - x \left.\right) - y \left(\right. y - x \left.\right) = \left(\right. z^{2} - y^{2} \left.\right) - x \left(\right. z - y \left.\right) = \left(\right. z - y \left.\right) \left(\right. z + y - x \left.\right) \geq 0\)

(vì \(z + y - x \geq 0\)).

Suy ra

\(y \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. y - x \left.\right) + z \left(\right. z - x \left.\right) \left(\right. z - y \left.\right) \geq 0.\)

Cộng với bất đẳng thức đầu tiên:

\(x \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x - z \left.\right) + y \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. y - x \left.\right) + z \left(\right. z - x \left.\right) \left(\right. z - y \left.\right) \geq 0.\)

Vậy

\(\boxed{x \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x - z \left.\right) + y \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. y - x \left.\right) + z \left(\right. z - x \left.\right) \left(\right. z - y \left.\right) \geq 0.}\)

a)
Vì \(m\) qua \(O\) cắt \(A B , C D\) tại \(M , P\), nên:

\(O M = O P \&\text{nbsp};(\text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; O \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{trung}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{hai}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{ch} \overset{ˊ}{\text{e}} \text{o}).\)

Tương tự, vì \(n\) qua \(O\) cắt \(B C , D A\) tại \(N , Q\):

\(O N = O Q .\)

Suy ra hai tam giác \(O M N\) và \(O P Q\) bằng nhau (g.c.g).
⇒ \(M N \parallel P Q\) và \(M Q \parallel N P .\)

→ \(M N P Q\) là hình bình hành.

b)
Vì \(m ⊥ n\), nên \(M N ⊥ M Q\).
Hai cặp cạnh đối song song, các cạnh bằng nhau → \(M N P Q\) là hình thoi.

a)
Vì \(m\) qua \(O\) cắt \(A B , C D\) tại \(M , P\), nên:

\(O M = O P \&\text{nbsp};(\text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; O \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{trung}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{hai}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{ch} \overset{ˊ}{\text{e}} \text{o}).\)

Tương tự, vì \(n\) qua \(O\) cắt \(B C , D A\) tại \(N , Q\):

\(O N = O Q .\)

Suy ra hai tam giác \(O M N\) và \(O P Q\) bằng nhau (g.c.g).
⇒ \(M N \parallel P Q\) và \(M Q \parallel N P .\)

→ \(M N P Q\) là hình bình hành.

b)
Vì \(m ⊥ n\), nên \(M N ⊥ M Q\).
Hai cặp cạnh đối song song, các cạnh bằng nhau → \(M N P Q\) là hình thoi.

a)
Vì \(m\) qua \(O\) cắt \(A B , C D\) tại \(M , P\), nên:

\(O M = O P \&\text{nbsp};(\text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; O \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{trung}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{hai}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{ch} \overset{ˊ}{\text{e}} \text{o}).\)

Tương tự, vì \(n\) qua \(O\) cắt \(B C , D A\) tại \(N , Q\):

\(O N = O Q .\)

Suy ra hai tam giác \(O M N\) và \(O P Q\) bằng nhau (g.c.g).
⇒ \(M N \parallel P Q\) và \(M Q \parallel N P .\)

→ \(M N P Q\) là hình bình hành.

b)
Vì \(m ⊥ n\), nên \(M N ⊥ M Q\).
Hai cặp cạnh đối song song, các cạnh bằng nhau → \(M N P Q\) là hình thoi.