Ta có

\(x^{8} - x^{7} = x^{7} \left(\right. x - 1 \left.\right) .\)

Và

\(x^{2} - x + 1 = \left(\left(\right. x - \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{2} + \frac{3}{4} > 0.\)

Mặt khác,

\(x^{8} - x^{7} + x^{2} - x + 1 = x^{7} \left(\right. x - 1 \left.\right) + x^{2} - x + 1.\)

Lại có

\(x^{7} \left(\right. x - 1 \left.\right) \geq x \left(\right. x - 1 \left.\right)\)

vì

\(x^{7} - x = x \left(\right. x^{6} - 1 \left.\right) = x \left(\right. x^{2} - 1 \left.\right) \left(\right. x^{4} + x^{2} + 1 \left.\right) ,\)

nên \(\left(\right. x^{7} - x \left.\right) \left(\right. x - 1 \left.\right) \geq 0\).

Do đó

\(x^8-x^7+x^2-x+1\geq x\left(\right.x-1\left.\right)+x^2-x+1=2x^2-2x+1=2\left(\left(\right.x-\frac{1}{2}\left.\right)\right)^2+\frac{1}{2}>0.\)

Vậy

\(\boxed{x^{8} - x^{7} + x^{2} - x + 1 > 0 , \forall x \in \mathbb{R} .}\)

Áp dụng bất đẳng thức

\(u^{2} + v^{2} \geq 2 u v .\)

Ta có

\(\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} \geq 2 \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} = \frac{2 a}{c} ,\) \(\frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq \frac{2 b}{a} ,\) \(\frac{c^{2}}{a^{2}} + \frac{a^{2}}{b^{2}} \geq \frac{2 c}{b} .\)

Cộng ba bất đẳng thức:

\(2 \left(\right. \frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \left.\right) \geq 2 \left(\right. \frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{b} \left.\right) .\)

Chia hai vế cho \(2\), được

\(\boxed{\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq \frac{c}{b} + \frac{b}{a} + \frac{a}{c} .}\)

Dấu bằng xảy ra khi

\(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a} ,\)

tức là \(a = b = c \neq 0\).

Ta có hằng đẳng thức

\(x^{4} - x^{3} y + x^{2} y^{2} - x y^{3} + y^{4} = \left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right) \left(\right. x^{2} - x y + y^{2} \left.\right) .\)

Do \(x , y > \sqrt{2}\) nên

\(x^{2} + y^{2} > 4.\)

Lại có

\(x^{2} - x y + y^{2} = \frac{1}{2} \left[\right. \left(\right. x - y \left.\right)^{2} + x^{2} + y^{2} \left]\right. \geq \frac{x^{2} + y^{2}}{2} > 2.\)

Suy ra

\(\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right) \left(\right. x^{2} - x y + y^{2} \left.\right) > \left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right) .\)

Hay

\(\boxed{x^{4} - x^{3} y + x^{2} y^{2} - x y^{3} + y^{4} > x^{2} + y^{2} .}\)

Ta có

\(\left(\right. 1 + \frac{1}{x} \left.\right) \left(\right. 1 + \frac{1}{y} \left.\right) = \frac{x + 1}{x} \cdot \frac{y + 1}{y} = \frac{\left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. y + 1 \left.\right)}{x y} .\)

Vì \(x + y = 1\),

\(\left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. y + 1 \left.\right) = x y + x + y + 1 = x y + 2.\)

Do đó

\(\left(\right. 1 + \frac{1}{x} \left.\right) \left(\right. 1 + \frac{1}{y} \left.\right) = \frac{x y + 2}{x y} = 1 + \frac{2}{x y} .\)

Lại có

\(\left(\right. x + y \left.\right)^{2} \geq 4 x y\)

nên

\(1 = \left(\right. x + y \left.\right)^{2} \geq 4 x y \Rightarrow x y \leq \frac{1}{4} .\)

Suy ra

\(\frac{2}{x y} \geq 8.\)

Vậy

\(1 + \frac{2}{x y} \geq 9.\)

Hay

\(\boxed{\left(\right. 1 + \frac{1}{x} \left.\right) \left(\right. 1 + \frac{1}{y} \left.\right) \geq 9.}\)

Dấu bằng xảy ra khi

\(x = y = \frac{1}{2} .\)

Ta nhóm các thừa số:

\(\left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. x - 4 \left.\right) = x^{2} - 5 x + 4 ,\) \(\left(\right. x - 2 \left.\right) \left(\right. x - 3 \left.\right) = x^{2} - 5 x + 6.\)

Đặt

\(t = x^{2} - 5 x + 5.\)

Khi đó

\(\left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. x - 4 \left.\right) = t - 1 , \left(\right. x - 2 \left.\right) \left(\right. x - 3 \left.\right) = t + 1.\)

Suy ra

\(\left(\right.x-1\left.\right)\left(\right.x-2\left.\right)\left(\right.x-3\left.\right)\left(\right.x-4\left.\right)+1=\left(\right.t-1\left.\right)\left(\right.t+1\left.\right)+1=t^2-1+1=t^2=\left(\right.x^2-5x+5\left.\right)^2\geq0.\)

Vậy

\(\boxed{\left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. x - 2 \left.\right) \left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x - 4 \left.\right) + 1 \geq 0.}\)

Dấu bằng xảy ra khi

\(x^{2} - 5 x + 5 = 0\)

hay

\(\boxed{x = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2} .}\)

Ta nhóm và hoàn thành bình phương:

\(4x^8-2x^7+x^6\&=x^6\left(\right.4x^2-2x+1\left.\right)=x^6\textrm{ }⁣\left(\left(\right.2x-\frac{1}{2}\left.\right)\right)^2+\frac{3}{4}x^6.\)

Và

\(x^{2} - x + 1 = \left(\left(\right. x - \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{2} + \frac{3}{4} .\)

Do đó

\(4x^8-2x^7+x^6-3x^4+x^2-x+1=x^6\left(\left(\right.2x-\frac{1}{2}\left.\right)\right)^2+\left(\left(\right.x-\frac{1}{2}\left.\right)\right)^2+\frac{3}{4}\left(\right.x^6+1\left.\right)-3x^4.\)

Theo bất đẳng thức AM-GM,

\(x^{6} + 1 \geq 2 x^{3} .\)

Suy ra

\(\frac{3}{4} \left(\right. x^{6} + 1 \left.\right) \geq \frac{3}{2} x^{3} .\)

Lại có

\(2 x^{4} - 3 x^{3} + 1 = \left(\right. x - 1 \left.\right)^{2} \left(\right. 2 x^{2} + x + 1 \left.\right) \geq 0 ,\)

nên

\(\frac{3}{2} x^{3} - 3 x^{4} = \frac{3}{2} \left(\right. x^{3} - 2 x^{4} \left.\right) \geq - \frac{3}{2} .\)

Do đó toàn bộ biểu thức là tổng của các số không âm và lớn hơn \(0\).

Vậy

\(\boxed{4 x^{8} - 2 x^{7} + x^{6} - 3 x^{4} + x^{2} - x + 1 > 0 , \forall x \in \mathbb{R} .}\)

Đặt

\(x = \frac{1}{a} , y = \frac{1}{b} , z = \frac{1}{c} .\)

Khi đó điều kiện trở thành

\(x y + y z + z x + x + y + z = 6.\)

Ta có

\(\left(\right. x + y + z \left.\right)^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right) .\)

Suy ra

\(x^{2} + y^{2} + z^{2} = \left(\right. x + y + z \left.\right)^{2} - 2 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right) .\)

Do

\(x y + y z + z x = 6 - \left(\right. x + y + z \left.\right) ,\)

nên

\(x^{2} + y^{2} + z^{2} = \left(\right. x + y + z \left.\right)^{2} + 2 \left(\right. x + y + z \left.\right) - 12.\)

Mặt khác,

\(x + y + z \geq 3 \sqrt[3]{x y z} .\)

Từ điều kiện và bất đẳng thức AM-GM suy ra

\(6 = x y + y z + z x + x + y + z \geq 6 \sqrt[6]{x^{4} y^{4} z^{4}} = 6 \left(\right. x y z \left.\right)^{2 / 3} ,\)

nên

\(x y z \leq 1.\)

Do đó

\(x + y + z \geq 3.\)

Vì

\(\left(\right. x + y + z \left.\right)^{2} + 2 \left(\right. x + y + z \left.\right) - 12 = \left(\right. x + y + z - 3 \left.\right) \left(\right. x + y + z + 5 \left.\right) + 3 \geq 3 ,\)

suy ra

\(x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq 3.\)

Hay

\(\boxed{\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \geq 3.}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a = b = c = 1\)

Ta có

\(a^{2} - a b + b^{2} = \frac{1}{4} \left(\right. a + b \left.\right)^{2} + \frac{3}{4} \left(\right. a - b \left.\right)^{2} \geq \frac{1}{4} \left(\right. a + b \left.\right)^{2} .\)

Suy ra

\(\sqrt{a^{2} - a b + b^{2}} \geq \frac{a + b}{2} .\)

Tương tự,

\(\sqrt{b^{2} - b c + c^{2}} \geq \frac{b + c}{2} ,\)

và

\(\sqrt{c^{2} - c a + a^{2}} \geq \frac{c + a}{2} .\)

Cộng ba bất đẳng thức trên:

\(\sqrt{a^{2} - a b + b^{2}}+\sqrt{b^{2} - b c + c^{2}}+\sqrt{c^{2} - c a + a^{2}}\geq\frac{a + b}{2}+\frac{b + c}{2}+\frac{c + a}{2}=a+b+c=3.\)

Vậy

\(\boxed{\sqrt{a^{2} - a b + b^{2}} + \sqrt{b^{2} - b c + c^{2}} + \sqrt{c^{2} - c a + a^{2}} \geq 3.}\)

Dấu "=" xảy ra khi

\(a = b = c = 1.\)

(Do trong mỗi bất đẳng thức \(\sqrt{a^{2} - a b + b^{2}} \geq \frac{a + b}{2}\), dấu bằng xảy ra khi hai số tương ứng bằng nhau: \(a = b , \&\text{nbsp}; b = c , \&\text{nbsp}; c = a\), kết hợp \(a + b + c = 3\) suy ra \(a = b = c = 1\).)

Ta biến đổi biểu thức:

\(x^2+y^2+xy-3x-3y+3=\frac{1}{2}\left[\right.\left(\right.x-y\left.\right)^2+\left(\right.x-2\left.\right)^2+\left(\right.y-2\left.\right)^2\left]\right..\)

Thật vậy,

\(\left(\right.x-y\left.\right)^2+\left(\right.x-2\left.\right)^2+\left(\right.y-2\left.\right)^2=x^2-2xy+y^2+x^2-4x+4+y^2-4y+4=2x^2+2y^2-2xy-4x-4y+8.\)

Cách trên chưa đúng với biểu thức cần chứng minh. Ta thử phân tích khác:

Đặt

\(x^{2} + y^{2} + x y - 3 x - 3 y + 3 = \frac{1}{2} \left[\right. \left(\right. x - y \left.\right)^{2} + \left(\right. x + y - 2 \left.\right)^{2} \left]\right. - \left(\right. x + y \left.\right) + 1 ,\)

vẫn chưa thuận lợi.

Ta hoàn thành bình phương theo cách chuẩn:

\(x^2+y^2+xy-3x-3y+3=\left(\left(\right.x+\frac{y}{2}-\frac{3}{2}\left.\right)\right)^2+\frac{3}{4}\left(\right.y-1\left.\right)^2.\)

Kiểm tra:

\(\left(\left(\right.x+\frac{y}{2}-\frac{3}{2}\left.\right)\right)^2=x^2+xy-3x+\frac{1}{4}y^2-\frac{3}{2}y+\frac{9}{4},\frac{3}{4}\left(\right.y-1\left.\right)^2\&=\frac{3}{4}y^2-\frac{3}{2}y+\frac{3}{4}.\)

Cộng hai biểu thức:

\(x^{2} + y^{2} + x y - 3 x - 3 y + 3.\)

Do đó

\(x^{2} + y^{2} + x y - 3 x - 3 y + 3 = \left(\left(\right. x + \frac{y}{2} - \frac{3}{2} \left.\right)\right)^{2} + \frac{3}{4} \left(\right. y - 1 \left.\right)^{2} \geq 0.\)

Vậy

\(\boxed{x^{2} + y^{2} + x y - 3 x - 3 y + 3 \geq 0.}\)

Dấu bằng xảy ra khi

\({.x+\frac{y}{2}-\frac{3}{2}=0,y-1=0,}\)

suy ra \(y = 1 , \&\text{nbsp}; x = 1\).

Kết luận: Bất đẳng thức đúng với mọi \(x , y \in \mathbb{R}\), và dấu bằng khi \(\boxed{x = y = 1}\).

1) Chứng minh \(a^{2} - a b + b^{2} \geq 0\).

Ta có

\(a^{2} - a b + b^{2} = \left(\left(\right. a - \frac{b}{2} \left.\right)\right)^{2} + \frac{3}{4} b^{2} \geq 0.\)

Vậy

\(\boxed{a^{2} - a b + b^{2} \geq 0.}\)

Dấu "=" xảy ra khi

\(\left(\left(\right. a - \frac{b}{2} \left.\right)\right)^{2} = 0 , \frac{3}{4} b^{2} = 0\)

hay

\(\boxed{a = b = 0.}\)

2) Chứng minh

\(a^{2} - a b + b^{2} \geq \frac{1}{4} \left(\right. a + b \left.\right)^{2} .\)

Ta có

\(a^2-ab+b^2-\frac{1}{4}\left(\right.a+b\left.\right)^2=a^2-ab+b^2-\frac{1}{4}\left(\right.a^2+2ab+b^2\left.\right)=\frac{3}{4}\left(\right.a^2-2ab+b^2\left.\right)=\frac{3}{4}\left(\right.a-b\left.\right)^2\geq0.\)

Suy ra

\(\boxed{a^{2} - a b + b^{2} \geq \frac{1}{4} \left(\right. a + b \left.\right)^{2} .}\)

Dấu "=" xảy ra khi

\(\left(\right. a - b \left.\right)^{2} = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longleftrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \boxed{a = b .}\)