Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với   \(2 \left(\right. \frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \left.\right) \geq 2 \left(\right. \frac{c}{b} + \frac{b}{a} + \frac{a}{c} \left.\right)\)

Xét dấu hiệu \(2 \left(\right. \frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \left.\right) - 2 \left(\right. \frac{c}{b} + \frac{b}{a} + \frac{a}{c} \left.\right)\)

\(= \left(\right. \frac{a}{b} - \frac{b}{c} \left.\right)^{2} + \left(\right. \frac{b}{c} - \frac{c}{a} \left.\right)^{2} + \left(\right. \frac{c}{a} - \frac{a}{b} \left.\right)^{2} \geq 0\)

Từ đó suy ra đpcm.

x+y=1 nên \(\left(\right. 1 + \frac{1}{x} \left.\right) \left(\right. 1 + \frac{1}{y} \left.\right) - 9\)

\(= \frac{\left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. y + 1 \left.\right) - 9 x y}{x y} = \frac{2 - 8 x y}{x y}\)  

\(= \frac{2 \left(\right. 1 - 4 x y \left.\right)}{x y} = \frac{2 \left(\right. \left(\right. x + y \left.\right)^{2} - 4 x y \left.\right)}{x y}\)

\(= \frac{2 \left(\right. x - y \left.\right)^{2}}{x y} \geq 0\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = \frac{1}{2}\).

\((x−1)(x−2)(x−3)(x−4)+1≥0⇔[(x−1)(x−4)][(x−2)(x−3)]+1≥0⇔(x2−x−4x+4)(x2−2x−3x+6)+1≥0⇔(x2−5x+4)(x2−5x+6)+1≥0⇔(x2−5x)2+4(x2−5x)+6(x2−5x)+4⋅6+1≥0⇔(x2−5x)2+10(x2−5x)+25≥0⇔(x2−5x)2+2⋅(x2−5x)⋅5+52≥0⇔(x2−5x+5)2≥0(luoˆn đuˊng)\) 

Giả thiết đã cho tương đương với \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a} = 6\). (1)

Ta có \(\left(\right. \frac{1}{a} - 1 \left.\right)^{2} \geq 0\)

\(\frac{1}{a^{2}} + 1 \geq \frac{2}{a}\) nên 

\(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \geq 2 \left(\right. \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \left.\right) - 3\) (2)

Lại có \(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq \frac{2}{a b}\) nên 

\(2 \left(\right. \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \left.\right) \geq 2 \left(\right. \frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a} \left.\right)\) (3)

Cộng (2) và (3) theo vế  và sử dụng (1)  ta có    

\(3 \left(\right. \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \left.\right) \geq 2 \left(\right. \frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \left.\right) - 3 = 2.6 - 3 = 9\) 

Suy ra \(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \geq 3\).

Ta có \(x^{2} + y^{2} + x y - 3 x - 3 y + 3\)

\(= \left(\right. x - 1 \left.\right)^{2} + \left(\right. y - 1 \left.\right)^{2} + x y + 1 - x - y\)

\(= \left(\right. x - 1 \left.\right)^{2} + \left(\right. y - 1 \left.\right)^{2} + \left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. y - 1 \left.\right) \geq 0\)\(a^{2} + a b + b^{2} = \frac{1}{4} \left(\right. 4 a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} \left.\right) = \frac{1}{4} \left(\right. 2 a + b \left.\right)^{2} + \frac{3}{4} b^{2} \geq 0\)

Ta có \(\sqrt{a^{2} - a b + b^{2}} = \sqrt{\frac{1}{4} \left(\right. a + b \left.\right)^{2} + \frac{3}{4} \left(\right. a - b \left.\right)^{2}} \&\text{nbsp}; \geq \frac{1}{2} \left(\right. a + b \left.\right)\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\).

Trương tự \(\sqrt{b^{2} - b c + c^{2}} \geq \frac{1}{2} \left(\right. b + c \left.\right)\) và \(\sqrt{c^{2} - c a + c a} \geq \frac{1}{2} \left(\right. c + a \left.\right)\).

Từ đó \(\sqrt{a^{2} - a b + b^{2}} + \sqrt{b^{2} - b c + c^{2}} + \sqrt{c^{2} - c a + a^{2}} \geq \frac{1}{2} \left(\right. a + b + b + c + c + a \left.\right)\)

\(= \left(\right. a + b + c \left.\right) = 3\)                                                                           

Vậy \(\sqrt{a^{2} - a b + b^{2}} + \sqrt{b^{2} - b c + c^{2}} + \sqrt{c^{2} - c a + a^{2}} \geq 3\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = \frac{a + b + c}{3} = 1\).

Ta cần chứng minh bất đẳng thức: x(x - y)(x - z) + y(y - z)(y - x) + z(z - x)(z - y) \geq 0 với điều kiện . Ta xét các trường hợp sau: Trường hợp 1: Khi , ta có :S= x(x - y)^2 \geq 0. Trường hợp 2: Khi , ta có: S= y(y - x)^2 \geq 0. Trường hợp 3: Khi , ta có S= x^2(x - y) + y^2(y - x) = (x - y)(x^2 - y^2) = -(x - y)^2(x + y) \geq 0. Vì cả ba trường hợp đều thoả mãn, nên bất đẳng thức luôn đúng.

x^8 - x^7 + x^2 - x + 1

= x^7(x-1) + x(x-1) +1

= (x-1)(x^7 + x) + 1

= (x^2-x)(x^6+1) + 1

Ta có: x^2 - x lớn hơn hoặc = 0; x^6 + 1 >0

=> (x^2-x)(x^6+1) lơn hơn hoặc bằng 0

=> (x^2+1)(x^6+1) + 1 > 0

=> x^8 - x^7 + x^2 - x + 1 > 0 (đpcm)

) a2 - ab + b2 ≥ 0

<=> ( 4a2 - 4ab + b2 ) + 3b2 ≥ 0

<=> ( 2a - b )2 + 3b2 ≥ 0 ( đúng ∀ a,b )

Vậy bđt ban đầu được chứng minh

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = 0

2) a2 - ab + b2 ≥ 1/4( a + b )2

<=> 4a2 - 4ab + 4b2 ≥ a2 + 2ab + b2

<=> 4a2 - 4ab + 4b - a2 - 2ab - b2 ≥ 0

<=> 3a2 - 6ab + 3b2 ≥ 0

<=> a2 - 2ab + b2 ≥ 0

<=> ( a - b )2 ≥ 0 ( đúng ∀ a,b )

Vậy bđt ban đầu được chứng minh

Đẳng thức xảy ra <=> a = b

Kế hoạch chi tiêu là gì? Kế hoạch chi tiêu là một danh sách mô tả chi tiết các khoản thu nhập và chi phí của một người hoặc một gia đình trong khoảng thời gian nhất định. Nó cho phép đánh giá mức độ chi tiêu, xác định các khoản ưu tiên và các khoản chi phí không cần thiết. b/ Nêu lí do cần phải lập kế hoạch chi tiêu. Cần phải lập kế hoạch chi tiêu vì nó giúp quản lý tài chính cá nhân hiệu quả, cân đối thu chi, và đạt được mục tiêu tài chính. Việc lập kế hoạch chi tiêu mang lại nhiều lợi ích: Giúp cân đối các khoản thu và chi một cách hợp lí, tránh được các khoản chi tiêu không cần thiết, lãng phí. Giúp mỗi cá nhân có thể tăng khoản tiết kiệm, chủ động về tài chính trong hiện tại và tương lai. Giúp quản lý tiền một cách hiệu quả, phát hiện được những điểm chưa đúng trong việc sử dụng tài chính. Giúp định hướng tương lai, phân bổ tiền phù hợp và đạt được các mục tiêu tài chính.