Giải:

Gọi số A là x

Theo bài ra ta có thương khi chia số đó cho 64 là:

(x - 38)/64

Thương của số đó khi chia cho 67 là:

(x - 14)/67

Theo bài ra ta có phương trình:

\(\frac{x-38}{64}\) = \(\frac{x-14}{67}\)

67.(x - 38) = 64(x - 14)

67x - 2546 = 64x -896

67x - 64x = 2546 - 896

3x = 1650

x = 1650 : 3

x = 550

Vậy số thỏa mãn đề bài là: 550

(10^n + 72n) ⋮ 81

Giả sử n = 1 khi đó:

(10^n + 72n) = (10 + 72) = 82

82 ⋮ 81 (vô lí)

Việc chứng minh: (10^n + 72n) ⋮ 81 ∀ n là không thể.

A = 2n + \(\overline{111\ldots111}\) (n chữ số 1)

2n \(\equiv\) -n (mod 3) (1)

B = \(\overline{111\ldots111}\) (n chữ số 1)

Tổng các chữ số của B là: 1 x n = n

B \(\equiv\) n (mod 3) (2)

Cộng vế với vế của (1) và(2) ta có:

A \(\equiv\) 0 (mod 3)

A ⋮ 3(đpcm)

(a - b) ⋮ 6

[a - b - 12b] ⋮ 6

[a - (b + 12b)] ⋮ 6

[a - 13b] ⋮ 6 (đcpm)

(a - b) ⋮ 6

[a - b + 18b] ⋮ 6

[a + (18b - b)] ⋮ 6

[a + 17b] ⋮ 6(đcpm)

(a - b) ⋮ 6

[6b + (a - b) ] ⋮ 6

[6b + a - b] ⋮ 6

[6b - b + a] ⋮ 6

[5b + a] ⋮ 6(đpcm)

\(\overline{abc}\) ⋮ 7

(100a+ 10b + c) ⋮ 7

[98a + 7b + 2a + 3b + c] ⋮ 7

(2a + 3b + c) ⋮ 7

Câu f:

(2n -1) ⋮ (n + 2)

[2(n + 2) - 5] ⋮ (n + 2)

5 ⋮ (n + 2)

(n + 2) ∈ Ư(5) = {-5; -1; 1; 5}

n ∈ {-7; -3; -1; 3}

Vậy: n ∈ {-7; -3; -1; 3}

Câu e:

(n + 3) ⋮ (n -1)

[(n - 1) + 4] ⋮ (n - 1)

4 ⋮ (n - 1)

(n -1) ∈ Ư(4) = {-4; - 2; -1; 1; 2; 4}

n ∈ {-3; - 1; 0; 2; 3; 5}

Vậy: n ∈ {-3; - 1; 0; 2; 3; 5}

Câu d:

(3 - 2n) ⋮ (n + 1)

[-2(n + 1)+ 5] ⋮ (n + 1)

5 ⋮ (n + 1)

(n + 1) ∈ Ư(5) = {-5; -1; 1; 5}

n ∈ {-6; -2; 0; 4}

Vậy: n ∈ {-6; -2; 0; 4}