Lực cần thiết để nâng vật lên là:

F = m.g = 200.10 = 2000 N

Sử dụng hệ thống ròng rọc, lực cần dùng để kéo dây nâng vật lên là:

F1 = 1500 N

Hiệu suất của hệ thống là:

H = (F1/F).100% = (1500/2000).100% = 75%

Ta có:

W = Wd + Wt = 37,5 J

Vì Wd = 2/3Wt nên Wt = 15 J

Do đó Wd = 22,5 J

Mà Wd = mgh = 22,5 J

Vậy m = 22,5/(g.h) = 22,5/(10.3) = 0,75 kg

Vận tốc của vật ở độ cao đó là:

v = √(2Wt/m) = √(2.15/0,75) = √40 = 6,32 m/s

Lực kéo hợp với phương ngang một góc 60o nên thành phần lực kéo vật chuyển dời là:

F = Fcosα = 200.cos60o = 100 N

Công của lực kéo là:

A = F.s = 100.10 = 1000 J

Công suất của người đó là:

P = A/t = 1000/5 = 200 W

a) Để f(x) = x^2 + (m - 1)x + m + 5 > 0 với mọi x ∈ R thì ta phải có:

Δ = (m - 1)^2 - 4(m + 5) < 0

m^2 - 2m + 1 - 4m - 20 < 0

m^2 - 6m - 19 < 0

(1)

Ta có:

m^2 - 6m - 19 = (m - 3 - 2√5)(m - 3 + 2√5)

Từ (1) ta có: (m - 3 - 2√5)(m - 3 + 2√5) < 0

Vậy -2√5 + 3 < m < 2√5 + 3.

b) Ta có phương trình đã cho tương đương với:

2x^2 - 9x + 6 = 0

x^2 - (9/2)x + 3 = 0

Δ = (9/2)^2 - 4.1.3 = 33/4 > 0

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

x1 = (9/2 + √(33/4))/2 = (9 + √33)/4

x2 = (9/2 - √(33/4))/2 = (9 - √33)/4

a) Ta có:

Δ: 3x + 4y + 7 = 0

Δ1: 5x - 12y + 7 = 0

Gọi (d) là đường thẳng đi qua hai điểm A và B bất kì trên (C).

Ta có:

(d) đi qua A(3 + 6cosα; -2 + 6sinα) và B(3 + 6cos(α + π); -2 + 6sin(α + π))

(d) có vecto chỉ phương là:

→AB = (6cos(α + π) - 6cosα; 6sin(α + π) - 6sinα)

= (-12sinα; 12cosα)

(d) có vecto pháp tuyến là:

n→ = (12cosα; 12sinα)

Ta có: (d) vuông góc với Δ nên (d) song song với Δ1

Vậy n→ = (5; -12) (có cùng hướng với vecto pháp tuyến của Δ1)

Từ đó suy ra:

cosα = 5/13

b) Đường thẳng vuông góc với Δ và tiếp xúc với (C) có dạng:

5x - 12y + λ = 0 (1)

(1) tiếp xúc với (C) nên khoảng cách từ tâm I(3; -2) đến (1) bằng bán kính R = 6

Do đó:

|5.3 - 12(-2) + λ|/13 = 6

Suy ra: λ = -25

Thay λ = -25 vào (1) ta được:

Phương trình đường thẳng cần tìm là: 5x - 12y - 25 = 0

Độ rộng viền khung ảnh tối đa là 3 cm.