TÔ PHƯƠNG THẢO
Giới thiệu về bản thân
Chào mừng bạn đến với trang cá nhân của TÔ PHƯƠNG THẢO
0
0
0
0
0
0
0
2026-02-26 00:17:45
Ta có AO=R𝐴𝑂=𝑅. Vì điểm I𝐼 nằm trên bán kính AO𝐴𝑂 và AI=23AO𝐴𝐼=23𝐴𝑂, nên:
OI=AO−AI=R−23R=13R𝑂𝐼=𝐴𝑂−𝐴𝐼=𝑅−23𝑅=13𝑅Xét tam giác vuông COI𝐶𝑂𝐼 (do AB⟂CD𝐴𝐵⟂𝐶𝐷 tại O𝑂), áp dụng định lý Pythagore:
CI2=CO2+OI2=R2+(13R)2=R2+19R2=109R2𝐶𝐼2=𝐶𝑂2+𝑂𝐼2=𝑅2+13𝑅2=𝑅2+19𝑅2=109𝑅2 ⇒CI=R103⇒𝐶𝐼=𝑅10√3
Gọi E𝐸 là giao điểm của tia CI𝐶𝐼 với đường tròn (O)(𝑂). Vì I𝐼 nằm trong đường tròn, theo tính chất phương tích của điểm I𝐼 đối với (O)(𝑂), ta có:
IC⋅IE=IA⋅IB𝐼𝐶⋅𝐼𝐸=𝐼𝐴⋅𝐼𝐵
Trong đó:
R103⋅IE=23R⋅43R=89R2𝑅10√3⋅𝐼𝐸=23𝑅⋅43𝑅=89𝑅2 ⇒IE=8R29⋅3R10=8R310=4R1015⇒𝐼𝐸=8𝑅29⋅3𝑅10√=8𝑅310√=4𝑅10√15
OI=AO−AI=R−23R=13R𝑂𝐼=𝐴𝑂−𝐴𝐼=𝑅−23𝑅=13𝑅Xét tam giác vuông COI𝐶𝑂𝐼 (do AB⟂CD𝐴𝐵⟂𝐶𝐷 tại O𝑂), áp dụng định lý Pythagore:
CI2=CO2+OI2=R2+(13R)2=R2+19R2=109R2𝐶𝐼2=𝐶𝑂2+𝑂𝐼2=𝑅2+13𝑅2=𝑅2+19𝑅2=109𝑅2 ⇒CI=R103⇒𝐶𝐼=𝑅10√3
Gọi E𝐸 là giao điểm của tia CI𝐶𝐼 với đường tròn (O)(𝑂). Vì I𝐼 nằm trong đường tròn, theo tính chất phương tích của điểm I𝐼 đối với (O)(𝑂), ta có:
IC⋅IE=IA⋅IB𝐼𝐶⋅𝐼𝐸=𝐼𝐴⋅𝐼𝐵
Trong đó:
- IA=23R𝐼𝐴=23𝑅
- IB=IO+OB=13R+R=43R𝐼𝐵=𝐼𝑂+𝑂𝐵=13𝑅+𝑅=43𝑅
R103⋅IE=23R⋅43R=89R2𝑅10√3⋅𝐼𝐸=23𝑅⋅43𝑅=89𝑅2 ⇒IE=8R29⋅3R10=8R310=4R1015⇒𝐼𝐸=8𝑅29⋅3𝑅10√=8𝑅310√=4𝑅10√15
2026-02-26 00:15:52
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có các đoạn thẳng bằng nhau sau đây:
Ta có các biểu thức độ dài cạnh:
BC+AB−AC=(BD+CD)+(AE+BD)−(AE+CD)𝐵𝐶+𝐴𝐵−𝐴𝐶=(𝐵𝐷+𝐶𝐷)+(𝐴𝐸+𝐵𝐷)−(𝐴𝐸+𝐶𝐷)
BC+AB−AC=2BD+CD+AE−AE−CD=2BD𝐵𝐶+𝐴𝐵−𝐴𝐶=2𝐵𝐷+𝐶𝐷+𝐴𝐸−𝐴𝐸−𝐶𝐷=2𝐵𝐷 Từ đó suy ra: BD=BC+AB−AC2𝐵𝐷=𝐵𝐶+𝐴𝐵−𝐴𝐶2
Ta đã biết các công thức dựa trên nửa chu vi p=a+b+c2𝑝=𝑎+𝑏+𝑐2:
BD⋅DC=(p−b)(p−c)=p2−p(b+c)+bc𝐵𝐷⋅𝐷𝐶=(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐)=𝑝2−𝑝(𝑏+𝑐)+𝑏𝑐
Thay p=a+b+c2𝑝=𝑎+𝑏+𝑐2 vào biểu thức:
BD⋅DC=(a+b+c2)2−(a+b+c2)(b+c)+bc𝐵𝐷⋅𝐷𝐶=(𝑎+𝑏+𝑐2)2−(𝑎+𝑏+𝑐2)(𝑏+𝑐)+𝑏𝑐
BD⋅DC=a2+(b+c)2+2a(b+c)4−a(b+c)+(b+c)22+bc𝐵𝐷⋅𝐷𝐶=𝑎2+(𝑏+𝑐)2+2𝑎(𝑏+𝑐)4−𝑎(𝑏+𝑐)+(𝑏+𝑐)22+𝑏𝑐
BD⋅DC=a2+(b+c)2+2a(b+c)−2a(b+c)−2(b+c)2+4bc4𝐵𝐷⋅𝐷𝐶=𝑎2+(𝑏+𝑐)2+2𝑎(𝑏+𝑐)−2𝑎(𝑏+𝑐)−2(𝑏+𝑐)2+4𝑏𝑐4
BD⋅DC=a2−(b+c)2+4bc4=a2−(b2+2bc+c2)+4bc4𝐵𝐷⋅𝐷𝐶=𝑎2−(𝑏+𝑐)2+4𝑏𝑐4=𝑎2−(𝑏2+2𝑏𝑐+𝑐2)+4𝑏𝑐4
BD⋅DC=a2−b2−c2+2bc4𝐵𝐷⋅𝐷𝐶=𝑎2−𝑏2−𝑐2+2𝑏𝑐4 Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông ABC𝐴𝐵𝐶: a2=b2+c2⇒a2−b2−c2=0𝑎2=𝑏2+𝑐2⇒𝑎2−𝑏2−𝑐2=0.
Do đó: BD⋅DC=2bc4=bc2𝐵𝐷⋅𝐷𝐶=2𝑏𝑐4=𝑏𝑐2 Mà diện tích tam giác vuông ABC𝐴𝐵𝐶 là SABC=12AB⋅AC=bc2𝑆𝐴𝐵𝐶=12𝐴𝐵⋅𝐴𝐶=𝑏𝑐2.
Vậy SABC=BD⋅DC𝑆𝐴𝐵𝐶=𝐵𝐷⋅𝐷𝐶.
- AF=AE𝐴𝐹=𝐴𝐸
- BF=BD𝐵𝐹=𝐵𝐷
- CD=CE𝐶𝐷=𝐶𝐸
Ta có các biểu thức độ dài cạnh:
- AB=AF+FB=AE+BD𝐴𝐵=𝐴𝐹+𝐹𝐵=𝐴𝐸+𝐵𝐷
- AC=AE+EC=AE+CD𝐴𝐶=𝐴𝐸+𝐸𝐶=𝐴𝐸+𝐶𝐷
- BC=BD+DC𝐵𝐶=𝐵𝐷+𝐷𝐶
BC+AB−AC=(BD+CD)+(AE+BD)−(AE+CD)𝐵𝐶+𝐴𝐵−𝐴𝐶=(𝐵𝐷+𝐶𝐷)+(𝐴𝐸+𝐵𝐷)−(𝐴𝐸+𝐶𝐷)
BC+AB−AC=2BD+CD+AE−AE−CD=2BD𝐵𝐶+𝐴𝐵−𝐴𝐶=2𝐵𝐷+𝐶𝐷+𝐴𝐸−𝐴𝐸−𝐶𝐷=2𝐵𝐷 Từ đó suy ra: BD=BC+AB−AC2𝐵𝐷=𝐵𝐶+𝐴𝐵−𝐴𝐶2
Ta đã biết các công thức dựa trên nửa chu vi p=a+b+c2𝑝=𝑎+𝑏+𝑐2:
- BD=p−b𝐵𝐷=𝑝−𝑏
- DC=p−c𝐷𝐶=𝑝−𝑐
BD⋅DC=(p−b)(p−c)=p2−p(b+c)+bc𝐵𝐷⋅𝐷𝐶=(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐)=𝑝2−𝑝(𝑏+𝑐)+𝑏𝑐
Thay p=a+b+c2𝑝=𝑎+𝑏+𝑐2 vào biểu thức:
BD⋅DC=(a+b+c2)2−(a+b+c2)(b+c)+bc𝐵𝐷⋅𝐷𝐶=(𝑎+𝑏+𝑐2)2−(𝑎+𝑏+𝑐2)(𝑏+𝑐)+𝑏𝑐
BD⋅DC=a2+(b+c)2+2a(b+c)4−a(b+c)+(b+c)22+bc𝐵𝐷⋅𝐷𝐶=𝑎2+(𝑏+𝑐)2+2𝑎(𝑏+𝑐)4−𝑎(𝑏+𝑐)+(𝑏+𝑐)22+𝑏𝑐
BD⋅DC=a2+(b+c)2+2a(b+c)−2a(b+c)−2(b+c)2+4bc4𝐵𝐷⋅𝐷𝐶=𝑎2+(𝑏+𝑐)2+2𝑎(𝑏+𝑐)−2𝑎(𝑏+𝑐)−2(𝑏+𝑐)2+4𝑏𝑐4
BD⋅DC=a2−(b+c)2+4bc4=a2−(b2+2bc+c2)+4bc4𝐵𝐷⋅𝐷𝐶=𝑎2−(𝑏+𝑐)2+4𝑏𝑐4=𝑎2−(𝑏2+2𝑏𝑐+𝑐2)+4𝑏𝑐4
BD⋅DC=a2−b2−c2+2bc4𝐵𝐷⋅𝐷𝐶=𝑎2−𝑏2−𝑐2+2𝑏𝑐4 Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông ABC𝐴𝐵𝐶: a2=b2+c2⇒a2−b2−c2=0𝑎2=𝑏2+𝑐2⇒𝑎2−𝑏2−𝑐2=0.
Do đó: BD⋅DC=2bc4=bc2𝐵𝐷⋅𝐷𝐶=2𝑏𝑐4=𝑏𝑐2 Mà diện tích tam giác vuông ABC𝐴𝐵𝐶 là SABC=12AB⋅AC=bc2𝑆𝐴𝐵𝐶=12𝐴𝐵⋅𝐴𝐶=𝑏𝑐2.
Vậy SABC=BD⋅DC𝑆𝐴𝐵𝐶=𝐵𝐷⋅𝐷𝐶.
a)
BD=BC+AB−AC2𝐵𝐷=𝐵𝐶+𝐴𝐵−𝐴𝐶2 (đpcm)
b)
(đpcm)
2026-02-26 00:14:02
Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác ABC𝐴𝐵𝐶 vuông tại A𝐴:
BC=AB2+AC2=92+122=81+144=225=15𝐵𝐶=𝐴𝐵2+𝐴𝐶2√=92+122√=81+144√=225√=15cm.
Chọn hệ trục tọa độ Oxy𝑂𝑥𝑦 sao cho đỉnh A𝐴 trùng với gốc tọa độ O(0;0)𝑂(0;0), cạnh AB𝐴𝐵 nằm trên trục Ox𝑂𝑥 và cạnh AC𝐴𝐶 nằm trên trục Oy𝑂𝑦. Khi đó:
Tọa độ trọng tâm G𝐺 của tam giác ABC𝐴𝐵𝐶:
xG=xA+xB+xC3=0+9+03=3𝑥𝐺=𝑥𝐴+𝑥𝐵+𝑥𝐶3=0+9+03=3 yG=yA+yB+yC3=0+0+123=4𝑦𝐺=𝑦𝐴+𝑦𝐵+𝑦𝐶3=0+0+123=4Vậy G(3;4)𝐺(3;4). Vì tam giác ABC𝐴𝐵𝐶 vuông tại A𝐴, bán kính đường tròn nội tiếp r𝑟 được tính bằng công thức:
r=AB+AC−BC2=9+12−152=3𝑟=𝐴𝐵+𝐴𝐶−𝐵𝐶2=9+12−152=3Do I𝐼 là tâm đường tròn nội tiếp và tam giác vuông tại A𝐴 nên tọa độ của I𝐼 là (r;r)(𝑟;𝑟), tức là I(3;3)𝐼(3;3).
Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm:
IG=(xG−xI)2+(yG−yI)2=(3−3)2+(4−3)2=02+12=1𝐼𝐺=(𝑥𝐺−𝑥𝐼)2+(𝑦𝐺−𝑦𝐼)2√=(3−3)2+(4−3)2√=02+12√=1
BC=AB2+AC2=92+122=81+144=225=15𝐵𝐶=𝐴𝐵2+𝐴𝐶2√=92+122√=81+144√=225√=15cm.
Chọn hệ trục tọa độ Oxy𝑂𝑥𝑦 sao cho đỉnh A𝐴 trùng với gốc tọa độ O(0;0)𝑂(0;0), cạnh AB𝐴𝐵 nằm trên trục Ox𝑂𝑥 và cạnh AC𝐴𝐶 nằm trên trục Oy𝑂𝑦. Khi đó:
- A(0;0)𝐴(0;0)
- B(9;0)𝐵(9;0)
- C(0;12)𝐶(0;12)
Tọa độ trọng tâm G𝐺 của tam giác ABC𝐴𝐵𝐶:
xG=xA+xB+xC3=0+9+03=3𝑥𝐺=𝑥𝐴+𝑥𝐵+𝑥𝐶3=0+9+03=3 yG=yA+yB+yC3=0+0+123=4𝑦𝐺=𝑦𝐴+𝑦𝐵+𝑦𝐶3=0+0+123=4Vậy G(3;4)𝐺(3;4). Vì tam giác ABC𝐴𝐵𝐶 vuông tại A𝐴, bán kính đường tròn nội tiếp r𝑟 được tính bằng công thức:
r=AB+AC−BC2=9+12−152=3𝑟=𝐴𝐵+𝐴𝐶−𝐵𝐶2=9+12−152=3Do I𝐼 là tâm đường tròn nội tiếp và tam giác vuông tại A𝐴 nên tọa độ của I𝐼 là (r;r)(𝑟;𝑟), tức là I(3;3)𝐼(3;3).
Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm:
IG=(xG−xI)2+(yG−yI)2=(3−3)2+(4−3)2=02+12=1𝐼𝐺=(𝑥𝐺−𝑥𝐼)2+(𝑦𝐺−𝑦𝐼)2√=(3−3)2+(4−3)2√=02+12√=1
Độ dài đoạn thẳng
IG𝐼𝐺là 1 cm.
2026-02-26 00:12:30
Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác ABC𝐴𝐵𝐶 vuông tại A𝐴, ta có:
BC=AB2+AC2𝐵𝐶=𝐴𝐵2+𝐴𝐶2√Thay số:
BC=62+82=36+64=100=10(cm)𝐵𝐶=62+82√=36+64√=100√=10(cm)
Đối với một tam giác vuông, bán kính đường tròn nội tiếp r𝑟 được tính theo công thức:
r=AB+AC−BC2𝑟=𝐴𝐵+𝐴𝐶−𝐵𝐶2Thay các giá trị đã biết vào công thức:
r=6+8−102=42=2(cm)𝑟=6+8−102=42=2(cm)
BC=AB2+AC2𝐵𝐶=𝐴𝐵2+𝐴𝐶2√Thay số:
BC=62+82=36+64=100=10(cm)𝐵𝐶=62+82√=36+64√=100√=10(cm)
Đối với một tam giác vuông, bán kính đường tròn nội tiếp r𝑟 được tính theo công thức:
r=AB+AC−BC2𝑟=𝐴𝐵+𝐴𝐶−𝐵𝐶2Thay các giá trị đã biết vào công thức:
r=6+8−102=42=2(cm)𝑟=6+8−102=42=2(cm)
2025-03-11 15:07:43
a,b