Do BH, CK là đường cao ∆ABC nên BH ⊥ AC, CK ⊥ AB.

Xét ∆ABH vuông tại H có ˆBAH=45∘ nên ˆABH=90∘−ˆBAH=90∘−45∘=45∘.

Mặt khác, ˆABD=ˆACD (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD) nên ˆACD=45∘.(1)

Tương tự, ta có ˆACK=90∘−ˆCAK=90∘−45∘=45∘. (2)

Từ (1) và (2) suy ra ˆDCE=ˆACD+ˆACK=45∘+45∘=90∘

Mà ˆDCE là góc nội tiếp chắn cung DE nên DE là đường kính của đường tròn (O).

Vậy ba điểm D, O, E thẳng hàng.

Gọi AD là đường kính của (O)

Xét (O) có

\(ABC^ABC\) là góc nội tiếp chắn cung AC

\(ADC^ADC\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(ABC^=ADC^ABC=ADC\)

Xét (O) có

ΔACD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔACD vuông tại C

Xét ΔAHB vuông tại H và ΔACD vuông tại C có

\(ABH^=ADC^ABH=ADC\)

Do đó: ΔAHB~ΔACD

=>\(AHAC=ABADACAH​=ADAB​\)

=>\(AB⋅AC=AH⋅AD=2R⋅AHAB⋅AC=AH⋅AD=2R⋅AH\)

Kẻ đường kính AE của đường tròn (O). Ta thấy  ˆACE=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Từ đó  ˆOAC+ˆAEC=90°.                    (1)

Theo giả thiết bài ra, ta có:  ˆBAH+ˆABC=90°.       (2)

 Lại vì  ˆAEC=ˆABC (cùng chắn  AC) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra  ˆBAH=ˆOAC (đpcm).

Gọi H là trung điểm của AB.

Theo giả thiết, góc ở tâm chắn cung AB là ˆAOB=100°.

Xét ∆OAH và ∆OBH có:

OA = OB = R

Cạnh OH chung

HA = HB (do H là trung điểm của AB)

Do đó ∆OAH = ∆OBH (c.c.c).

Suy ra ˆHOA=ˆHOB (hai góc tương ứng).

Lại có: ˆHOA+ˆHOB=ˆAOB nên 2ˆHOA=ˆAOB=100° hay ˆHOA=50°.

Xét tam giác OAH vuông tại H có: cosˆHOA=OHOA

Suy ra OA=OHcosˆHOA=3cos50°≈4,7(cm).

Vậy bán kính của đường tròn (O) khoảng 4,7 cm.

Xét đường tròn tâm O bán kính OB’, dây BC là đường kính đi qua tâm O, dây B’C’ là dây cung không đi qua tâm O.

Do đó BC > B’C’.

Gọi OK là khoảng cách từ O đến dây MN

Suy ra: K là trung điểm của MN

Xét ΔOMN có OM=ON=MN

nên ΔOMN đều

Xét ΔOKN vuông tại K có 

\(ON2=OK2+KN2ON2=OK2+KN2\)

hay \(OK=R32OK=2R3​​\)

OA=OM=ON=10

Vì I là trung điểm OA -> OI=5

IN=√ON2−OI2= 5√3 

IM=√OM2−OI2= 5√3 

MN=5√3.2=10√3