Xác định ∠((A′BD);(ABCD))

+ (A′BC)∩(ABCD)=BD

+ {AA'⊥BDAO⊥BD⇒(A'AO)⊥BD

+ {(A'AO)∩(A'BD)=A'O(A'AO)∩(ABCD)=AO

⇒∠((A′BD);(ABCD))=∠(A′O;AO)=∠A′OA

⇒∠A′OA=300

* Xét tam giác A′OA vuông tại A có AO=12AC=12BD=a

⇒AA′=tan300.AO=a√33

⇒VABCD.A′B′C′D′=SABCD.AA′=12AC.BD.AA′

=12.(2a)2.a√33=2√3a33

Gọi I=AC∩BD.

Hình vuông ABCD có độ dài đường chéo bằng a√2 suy ra hình vuông đó có cạnh bằng a.

Ta có ⎧⎪⎨⎪⎩(SBD)∩(ABCD)=BDSI⊥BDAI⊥BD⇒ˆ((SBD);(ABCD))=ˆ(SI;AI)=ˆSIA.

Ta có tanα=tanˆSIA=SAAI⇔SA=a.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Ta có A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), S(0;0;a).

Khi đó −→SA=(0;0;−a); −−→SC=(a;a;−a); −−→SB=(a;0;−a).

Mặt phẳng (SAC) có vectơ pháp tuyến →n1=(−1;1;0).

Mặt phẳng (SBC) có vectơ pháp tuyến →n2=(1;0;1).

Suy ra cos(ˆ(SAC);(SBC))=∣∣→n1.→n2∣∣∣∣→n1∣∣.∣∣→n2∣∣=1√2.√2=12⇒(ˆ(SAC);(SBC))=60°

có: 290=3.90+20.

P=400 triệu đồng; r=312.4,8%=1,2%;r′=1365.0,1%=13650%;n=3;n′=20.

a) Tổng số tiền cả vốn và lãi bác Tư nhận được tính theo phương thức lãi đơn là:

F=P(n.r+n′.r′+1)=400(3.1,2%+20.13650%+1)≈414,422(triệu đồng).

b) Tổng số tiền cả vốn và lãi bác Tư nhận được tính theo phương thức lãi kép là:

F=P(1+r)n(1+r′)n′=400(1+1,2%)3(1+13600%)20≈414,596(triệu đồng).

Trong (ABCD)kéo dài ADcắt BCtại E, áp dụng định lí Ta-lét ta có: EDEA=CDAB=a3a=BMBA.

⇒MD∥BE(định lí Ta-lét đảo) ⇒MD∥(SBE)⊃SC⇒d(MD;SC)=d(MD;(SBE))=d(D;(SBE))

Ta có: ⎧⎪⎨⎪⎩(SBI)∩(SCI)=SI(SBI)⊥(ABCD)(SCI)⊥(ABCD)⇒SI⊥(ABCD).

Lại có DI∩(SBE)=E⇒d(D;(SBE))d(I;(SBE))=DEIE.

Ta có: EDEA=CDAB=13⇒EDDA=12⇒ED=12AD=a2, IE=ED+DI=a2+a2=a.

⇒DEIE=12⇒d(D;(SBE))=12d(I;(SBE)).

Trong (SBE)kẻ IH⊥BE(H∈BE), trong (SIH)kẻ IK⊥SH(K∈SH)ta có:

{BE⊥IHBE⊥SI⇒BE⊥(SIH)⇒BE⊥IK{IK⊥BEIK⊥SH⇒IK⊥(SBE)⇒d(I;(SBE))=IK

Ta có: BE⊥(SIH)⇒BE⊥S

(SBE)∩(ABCD)=BESH⊂(SBE),SH⊥BEIH⊂(ABCD),IH⊥BE⇒∠((SBC);(ABCD))=∠((SBE);(ABCD))=∠(SH;IH)=∠SHI=600.

Ta có:

SABCD=AD.(AB+CD)2=a.(3a+a)2=2a2SCDI=12CD.CI=12.a.a2=a24SABI=12AB.AI=12.3a.a2=3a24⇒SIBC=SABCD−SCDI−SABI=2a2−a24−3a24=a2

BC=√(AB−CD)2+AD2=√4a2+a2=a√5.

Mặt khác ta lại có SIBC=12IH.BC⇒IH=2SIBCBC=2a2a√5=2a√5.

Xét tam giác vuông IHKcó: IK=IH.sin600=2a√5.√32=a√155.

Vậy d(MD;SC)

Gọi O=AC∩BD⇒SO⊥(ABCD).

Do ABCD là hình vuông cạnh bằng 1 nên AC=BD=√2⇒OA=12AC=√22.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SOA ta có: SO=√SA2−OA2=√22.

SO⊥(ABCD)⇒SO⊥(AMN).

⇒VS.AMN=13SO.SAMN=√26.SAMN.

Do đó VS.AMNmin⇔SAMN min.

Đặt CM=x,CN=y(0≤x;y≤1), khi đó ta có x2+y2=1 (Định lí Pytago trong tam giác vuông CMN).

Ta có

SABM=12AB.AM=12(1−x)SADN=12AD.DN=12(1−y)SCMN=12xy⇒SAMN=SABCD−(SABM+SADN+SCMN)=1−12(1−x+1−y+xy)=1−12(2−x−y+xy)=12(x+y−xy)

Ta có x2+y2=1⇔y=√1−x2. Khi đó ta có S=12(x+√1−x2−x√1−x2).

Xét hàm số f(x)=x+√1−x2−x√1−x2 với x∈(0;1) ta có:

y′=1−x√1−x2−√1−x2−x.−x√1−x2y′=√1−x2−x−(1−x2)+x2√1−x2y′=√1−x2+2x2−x−1√1−x2

y′=0⇔√1−x2+2x2−x−1=0⇔√(1−x)(1+x)+(x−1)(2x+1)=0⇔√1−x[√1+x−√1−x(2x+1)]=0⇔[x=1√1+x−√1−x(2x+1)=0⇔[x=11+x=(1−x)(2x+1)2⇔[x=14x3−2x=0⇔⎡⎢
⎢
⎢⎣x=1x=0x=1√2

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy min[0;1]f(x)=f(√22)=2√2−14.

⇒minSAMN=2√2−14.

Vậy minVS.AMN=√26.2√2−14=4−√224 

Gọi O=AC∩BD⇒SO⊥(ABCD).

Do ABCD là hình vuông cạnh bằng 1 nên AC=BD=√2⇒OA=12AC=√22.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SOA ta có: SO=√SA2−OA2=√22.

SO⊥(ABCD)⇒SO⊥(AMN).

⇒VS.AMN=13SO.SAMN=√26.SAMN.

Do đó VS.AMNmin⇔SAMN min.

Đặt CM=x,CN=y(0≤x;y≤1), khi đó ta có x2+y2=1 (Định lí Pytago trong tam giác vuông CMN).

Ta có

SABM=12AB.AM=12(1−x)SADN=12AD.DN=12(1−y)SCMN=12xy⇒SAMN=SABCD−(SABM+SADN+SCMN)=1−12(1−x+1−y+xy)=1−12(2−x−y+xy)=12(x+y−xy)

Ta có x2+y2=1⇔y=√1−x2. Khi đó ta có S=12(x+√1−x2−x√1−x2).

Xét hàm số f(x)=x+√1−x2−x√1−x2 với x∈(0;1) ta có:

y′=1−x√1−x2−√1−x2−x.−x√1−x2y′=√1−x2−x−(1−x2)+x2√1−x2y′=√1−x2+2x2−x−1√1−x2

y′=0⇔√1−x2+2x2−x−1=0⇔√(1−x)(1+x)+(x−1)(2x+1)=0⇔√1−x[√1+x−√1−x(2x+1)]=0⇔[x=1√1+x−√1−x(2x+1)=0⇔[x=11+x=(1−x)(2x+1)2⇔[x=14x3−2x=0⇔⎡⎢
⎢
⎢⎣x=1x=0x=1√2

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy min[0;1]f(x)=f(√22)=2√2−14.

⇒minSAMN=2√2−14.

Vậy minVS.AMN=√26.2√2−14=4−√224 

Gọi a là số tiền vay, r là lãi suất, m là số tiền hàng tháng trả.

Số tiền nợ sau tháng thứ nhất là: N1=a(1+r)−m.

Số tiền nợ sau tháng thứ hai là: N2=[a(1+r)−m]+[a(1−r)−m]r−m

     =a(1+r)2−m[(1+r)+1]

Số tiền nợ sau n tháng là: 

Nn=a(1+r)n−m[(1+r)n−1+(1+r)n−2+...+1]=a(1+r)n−m(1+r)n−1r.

Sau n tháng anh Nam trả hết nợ: Nn=a(1+r)n−m(1+r)n−1r=0

⇔1000(1+0,005)n−30(1+0,005)n−10,005=0⇔n=36,55

Vậy 37 tháng thì anh Nam trả hết nợ.

Hi Anna

Thank you for inviting me to your house this Sunday. I am so glad to come to try some recipes from the book with you. Shall we meet at 10 a.m? Please tell me if I need to buy something in advance to prepare for the meal.

See you soon,

Linda