Đây là lời giải ngắn, trình bày kiểu bài thi:

Giả thiết. Gọi
\(\angle A_{2} = \angle \left(\right. x A , A O \left.\right)\) (góc giữa \(A x\) và \(A O\)) và \(\angle B_{1} = \angle \left(\right. B O , B y \left.\right)\) (góc giữa \(B O\) và \(B y\)). \(\angle A O B\) là góc ở đỉnh \(O\).

Theo đề: \(\angle A O B + \angle A_{2} - 180^{\circ} = \angle B_{1} .\)

Chuyển vế ta có

\(\angle A_{2} + \angle A O B = 180^{\circ} + \angle B_{1} .\)

Lấy \(180^{\circ}\) trừ hai vế bên phải và trái theo cách nhóm góc ở B:

\(\angle A_{2} + \left(\right. 180^{\circ} - \angle B_{1} \left.\right) = 180^{\circ} .\)

Nhưng \(180^{\circ} - \angle B_{1}\) chính là góc trong cùng phía với \(\angle B_{1}\) (tức góc giữa \(O B\) và đường song song với \(B y\) qua \(B\)), nên biểu thức trên tương đương với

\(\angle \left(\right. A x , A O \left.\right) + \angle \left(\right. A O , O B \&\text{nbsp}; \text{v} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \&\text{nbsp};\text{ph} \overset{ˊ}{\imath} \text{a}\&\text{nbsp}; B \&\text{nbsp};\text{so}\&\text{nbsp};\text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; B y \left.\right) = 180^{\circ} .\)

Do đó hai góc trong cùng phía tạo bởi hai đường thẳng \(A x\) và \(B y\) (khi cắt bởi đường xuyên \(A O\) và \(B O\)) có tổng bằng \(180^{\circ}\). Theo định lí về hai đường thẳng song song (hai góc trong cùng phía bằng \(180^{\circ}\) ⇒ hai đường song song), suy ra

\(A x \parallel B y .\)