Xét tứ giác \(\mathit{M} \mathit{N} \mathit{P} \mathit{Q}\), ta có: \(\mathit{M} \mathit{Q}\) // \(\mathit{N} \mathit{P}\) và \(\mathit{M} \mathit{N}\) // \(\mathit{P} \mathit{Q}\) suy ra \(\mathit{M} \mathit{N} \mathit{P} \mathit{Q}\) là hình bình hành.

Kéo dài \(\mathit{A} \mathit{D}\) và \(\mathit{B} \mathit{C}\) cắt nhau tại \(\mathit{E}\).

Ta có: \(\hat{\mathit{C}} + \hat{\mathit{D}} = 9 0^{\circ}\) suy ra \(\hat{\mathit{E}} = 9 0^{\circ}\).

Lại có:\(\mathit{M} \mathit{N}\) // \(\mathit{E} \mathit{D}\) và \(\mathit{M} \mathit{Q}\) // \(\mathit{E} \mathit{C}\) suy ra \(\mathit{M} \mathit{N} ⊥ \mathit{M} \mathit{Q}\)

Do đó \(\mathit{M} \mathit{N} \mathit{P} \mathit{Q}\) là hình chữ nhật suy ra \(\mathit{M} , \mathit{N} , \mathit{P} , \mathit{Q}\) nằm trên một đường tròn với tâm là giao điểm của hai đường chéo của hình chữ nhật, bán kính bằng nửa đường chéo.

Vì tam giác \(\mathit{A} \mathit{B} \mathit{C}\) đều nên các trung tuyến đồng thời cũng là đường cao.

Suy ra \(\mathit{A} \mathit{M} , \mathit{B} \mathit{N} , \mathit{C} \mathit{P}\) lần lượt vuông góc với \(\mathit{B} \mathit{C} , \mathit{A} \mathit{C} , \mathit{A} \mathit{B}\).

\(\Delta \mathit{B} \mathit{P} \mathit{C}\) là tam giác vuông, có \(\mathit{B} \mathit{C}\) là cạnh huyền nên \(\mathit{M} \mathit{P} = \frac{1}{2} \mathit{B} \mathit{C} = \mathit{B} \mathit{M} = \mathit{M} \mathit{C}\) (1)

\(\Delta \mathit{B} \mathit{N} \mathit{C}\) là tam giác vuông, có \(\mathit{B} \mathit{C}\) là cạnh huyền nên \(\mathit{N} \mathit{M} = \frac{1}{2} \mathit{B} \mathit{C} = \mathit{B} \mathit{M} = \mathit{M} \mathit{C}\) (2) 

Từ (1) và (2) suy ra \(\mathit{P} \mathit{M} = \mathit{N} \mathit{M} = \mathit{M} \mathit{B} = \mathit{M} \mathit{C}\) hay các điểm \(\mathit{B} , \mathit{P} , \mathit{N} , \mathit{C}\) cùng thuộc đường tròn, đường kính \(\mathit{B} \mathit{C} = a\), tâm đường tròn là trung điểm \(\mathit{M}\) của \(\mathit{B} \mathit{C}\).

Vì ba tam giác \(\mathit{A} \mathit{D} \mathit{M} , \mathit{A} \mathit{E} \mathit{M} , \mathit{A} \mathit{H} \mathit{M}\) có chung cạnh huyền \(\mathit{A} \mathit{M}\) nên ba đỉnh góc vuông \(\mathit{D} , \mathit{E} , \mathit{H}\) nằm trên đường tròn đường kính \(\mathit{A} \mathit{M}\) có tâm là trung điểm của \(\mathit{A} \mathit{M}\).

Vậy năm điểm \(\mathit{A} , \mathit{D} , \mathit{M} , \mathit{H} , \mathit{E}\) cùng nằm trên một đường tròn.

a) Giả sử đường tròn \(\left(\right. \mathit{O} \left.\right)\) có bán kính \(\mathit{R}\) suy ra \(\mathit{O} \mathit{A} = \mathit{R}\) \(\left(\right. 1 \left.\right)\)

Do \(\mathit{B}\) là điểm đối xứng với \(\mathit{A}\) qua \(d\) suy ra \(\mathit{O} \mathit{A} = \mathit{O} \mathit{B}\) \(\left(\right. 2 \left.\right)\)

Do \(\mathit{C}\) là điểm đối xứng với \(\mathit{A}\) qua \(\mathit{O}\) suy ra \(\mathit{O} \mathit{A} = \mathit{O} \mathit{C}\) \(\left(\right. 3 \left.\right)\)

Do \(\mathit{D}\) là điểm đối xứng với \(\mathit{B}\) qua \(\mathit{O}\) suy ra \(\mathit{O} \mathit{B} = \mathit{O} \mathit{D}\) \(\left(\right. 4 \left.\right)\)

Từ \(\left(\right. 1 \left.\right)\), \(\left(\right. 2 \left.\right)\), \(\left(\right. 3 \left.\right)\) và \(\left(\right. 4 \left.\right)\) suy ra \(\mathit{B}\), \(\mathit{C}\) và \(\mathit{D}\) cùng thuộc \(\left(\right. \mathit{O} \left.\right)\).

b) Ta thấy \(\mathit{A} \mathit{C}\) và \(\mathit{B} \mathit{D}\) cắt nhau tại \(\mathit{O}\) là trung điểm của mỗi đường, suy ra \(\mathit{A} \mathit{B} \mathit{C} \mathit{D}\) là hình chữ nhật.

c) Ta thấy \(\mathit{O} \mathit{C} = \mathit{O} \mathit{D}\) suy ra \(d\) là đường trung trực của \(\mathit{C} \mathit{D}\).

Suy ra \(\mathit{C}\) và \(\mathit{D}\) đối xứng với nhau qua \(d\).

a) Vì hình vuông \(\mathit{A} \mathit{B} \mathit{C} \mathit{D}\) có tâm \(\mathit{E}\) suy ra \(\mathit{E} \mathit{A} = \mathit{E} \mathit{B} = \mathit{E} \mathit{C} = \mathit{E} \mathit{D}\).

Do đó, các điểm \(\mathit{A}\), \(\mathit{B}\), \(\mathit{C}\) và \(\mathit{D}\) cùng thuộc một đường tròn tâm \(\mathit{E}\).

Hai trục đối xứng của đường tròn là \(\mathit{A} \mathit{C}\) và \(\mathit{B} \mathit{D}\).

b) Cạnh hình vuông bằng \(3\) cm nên áp dụng định lí Pythagore, ta có:

\(\mathit{A} \mathit{C} = \sqrt{\mathit{A} \mathit{B}^{2} + \mathit{B} \mathit{C}^{2}} = 3 \sqrt{2}\) suy ra \(\mathit{E} \mathit{A} = \frac{\mathit{A} \mathit{C}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}\).

Vậy bán kính của đường tròn là \(\mathit{R} = \mathit{E} \mathit{A} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}\) cm.

Gọi \(\mathit{M}\), \(\mathit{N}\), \(\mathit{P}\), \(\mathit{Q}\) lần lượt là trung điểm của bốn cạnh \(\mathit{A} \mathit{B}\), \(\mathit{B} \mathit{C}\), \(\mathit{C} \mathit{D}\) và \(\mathit{D} \mathit{A}\) của hình thoi \(\mathit{A} \mathit{B} \mathit{C} \mathit{D}\).

Gọi \(\mathit{O}\) là giao điểm của \(\mathit{A} \mathit{C}\) và \(\mathit{B} \mathit{D}\).

Ta có \(\mathit{A} \mathit{C} ⊥ \mathit{B} \mathit{D}\).

Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, ta được:

\(\mathit{O} \mathit{M} = \frac{1}{2} \mathit{A} \mathit{B}\); \(\mathit{O} \mathit{N} = \frac{1}{2} \mathit{B} \mathit{C}\);

\(\mathit{O} \mathit{P} = \frac{1}{2} \mathit{C} \mathit{D}\); \(\mathit{O} \mathit{Q} = \frac{1}{2} \mathit{A} \mathit{D}\)

Mặt khác \(\mathit{A} \mathit{B} = \mathit{B} \mathit{C} = \mathit{C} \mathit{D} = \mathit{D} \mathit{A}\) nên \(\mathit{O} \mathit{M} = \mathit{O} \mathit{N} = \mathit{O} \mathit{P} = \mathit{O} \mathit{Q}\).

Do đó bốn điểm \(\mathit{M}\), \(\mathit{N}\), \(\mathit{P}\), \(\mathit{Q}\) cùng nằm trên một đường tròn.

Gọi \(\mathit{O}\) là trung điểm của \(\mathit{B} \mathit{C}\).

Ta có \(\mathit{B} \mathit{D}\) là đường cao nên \(\mathit{B} \mathit{D} ⊥ \mathit{A} \mathit{C}\), hay tam giác \(\mathit{B} \mathit{C} \mathit{D}\) vuông tại \(\mathit{D}\).

Trong tam giác vuông \(\mathit{B} \mathit{C} \mathit{D}\) có \(\mathit{D} \mathit{O}\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền \(\mathit{B} \mathit{C}\) nên:

\(\mathit{O} \mathit{D} = \mathit{O} \mathit{B} = \mathit{O} \mathit{C} = \frac{1}{2} \mathit{B} \mathit{C}\) \(\left(\right. 1 \left.\right)\)

Tương tự ta có: \(\mathit{O} \mathit{E} = \mathit{O} \mathit{B} = \mathit{O} \mathit{C} = \frac{1}{2} \mathit{B} \mathit{C}\) \(\left(\right. 2 \left.\right)\)

Và \(\mathit{O} \mathit{F} = \mathit{O} \mathit{B} = \mathit{O} \mathit{C} = \frac{1}{2} \mathit{B} \mathit{C}\) \(\left(\right. 3 \left.\right)\)

Từ \(\left(\right. 1 \left.\right)\), \(\left(\right. 2 \left.\right)\) và \(\left(\right. 3 \left.\right)\) suy ra \(\mathit{O} \mathit{B} = \mathit{O} \mathit{C} = \mathit{O} \mathit{D} = \mathit{O} \mathit{D} = \mathit{O} \mathit{E} = \mathit{O} \mathit{F}\).

Do đó năm điểm \(\mathit{B}\), \(\mathit{C}\), \(\mathit{D}\), \(\mathit{E}\), \(\mathit{F}\) cùng thuộc một đường tròn.

Gọi \(\mathit{O}\) là giao điểm của hai đường chéo \(\mathit{A} \mathit{C}\) và \(\mathit{B} \mathit{D}\).

Theo tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật, ta có \(\mathit{O} \mathit{A} = \mathit{O} \mathit{B} = \mathit{O} \mathit{C} = \mathit{O} \mathit{D} \left(\right. = \frac{1}{2} \mathit{A} \mathit{C} = \frac{1}{2} \mathit{B} \mathit{D} \left.\right)\).

Vậy bốn điểm \(\mathit{A}\), \(\mathit{B}\), \(\mathit{C}\), \(\mathit{D}\) cùng thuộc \(\left(\right. \mathit{O} ; \frac{1}{2} \mathit{A} \mathit{C} \left.\right)\).

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông \(\mathit{A} \mathit{B} \mathit{C}\), ta có: \(\mathit{A} \mathit{C}^{2} = \mathit{A} \mathit{B}^{2} + \mathit{B} \mathit{C}^{2} = a^{2} + b^{2}\)

Do đó \(\mathit{R} = \frac{1}{2} \mathit{A} \mathit{C} = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}\).

Tam giác \(\mathit{A} \mathit{B} \mathit{C}\) có hai đường cao \(\mathit{B} \mathit{B}^{'}\) và \(\mathit{C} \mathit{C}^{'}\) nên \(\hat{\mathit{B} \mathit{C}^{'} \mathit{C}} = \hat{\mathit{B} \mathit{B}^{'} \mathit{C}} = 9 0^{\circ} .\)

Suy ra \(\mathit{O} \mathit{B} = \mathit{O} \mathit{C} = \mathit{O} \mathit{B}^{'} = \mathit{O} \mathit{C}^{'}\) (đường cao ứng với cạnh huyền).

Do đó bốn điểm \(\mathit{B}\), \(\mathit{C}^{'}\), \(\mathit{B}^{'}\), \(\mathit{C}\) cùng nằm trên một đường tròn.

Tứ giác \(\mathit{A} \mathit{B} \mathit{C} \mathit{D}\) có \(\hat{\mathit{B}} = \hat{\mathit{D}} = 9 0^{\circ}\) nên \(\mathit{O} \mathit{A} = \mathit{O} \mathit{B} = \mathit{O} \mathit{C} = \mathit{O} \mathit{D}\) (đường cao ứng với cạnh huyền).

Suy ra bốn điểm \(\mathit{A}\), \(\mathit{B}\), \(\mathit{C}\), \(\mathit{D}\) cùng nằm trên một đường tròn tâm \(\mathit{O}\), đường kính \(\mathit{A} \mathit{C}\).