a) Ta có: \(A x ⊥ A C\) và \(B y\) // \(A C\)

Suy ra \(A x ⊥ B y\) \(\Rightarrow \hat{A M B} = 9 0^{\circ}\).

Xét \(\Delta M A Q\) và \(\Delta Q B M\) có

\(\hat{M Q A} = \hat{B M Q}\) (so le trong);

\(M Q\) là cạnh chung;

\(\hat{A M Q} = \hat{B Q M}\) (\(A x\) // \(Q B\)).

Suy ra \(\Delta M A Q = \&\text{nbsp}; \Delta Q B M\) (g-c-g)

Suy ra \(\hat{M B Q} = \hat{M A Q} = 9 0^{\circ}\) (2 góc tương ứng)

Xét tứ giác \(A M B Q\) có: \(\hat{Q A M} = \hat{A M B} = \hat{M B Q} = 9 0^{\circ}\)

Suy ra tứ giác \(A M B Q\) là hình chữ nhật.

b) Do tứ giác \(A M B Q\) là hình chữ nhật.

Mà \(P\) là trung điểm AB\(n \hat{e} n\)PQ=\dfrac{1}{2}AB$ (1)

Xét \(\Delta A I B\) vuông tại \(I\) và có \(I P\) là đường trung tuyến.

Suy ra \(I P = \frac{1}{2} A B\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow Q P = I P \Rightarrow \Delta P Q I\) cân tại \(P\).

+ Xét tam giác ABC có đường trung tuyến BM và BM = 1/2 AC

Suy ra: tam giác ABC vuông tại B: ˆB=90o

* Xét tứ giác ABCD có ˆA=ˆD=ˆB=90o

Suy ra: tứ giác ABCD là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)

Theo tính chất của hình chữ nhật ta có:

AC = BD; AB = CD; AD = BC

Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường.

Vậy A, B, C đúng và D sai (vì trong hình chữ nhật hai cạnh kề chưa chắc đã bằng nhau).

Theo đề bài, I là trung điểm của AC, D thuộc tia HI sao cho IH = ID

Nên tứ giác AHCD có hai đường chéo AC và HD cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường.

Suy ra tứ giác AHCD là hình bình hành.

Hình bình hành AHCD có ˆAHC=90° nên tứ giác AHCD là hình chữ nhật.