a) Xét 2 tam giác MPB và APQ

AP=PB(gt)

góc APQ=góc MPB(2 góc đối đỉnh)

Góc MBP= góc QAP(so le trong)

Vậy 2 tam giác MPB=tam giác APQ

MP=PQ(chứng minh trên)

Vậy AB và MQ là đường chéo , cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn

Mà góc A=90°

Vậy tứ giác AMBQ là hình chữ nhật

b) Do tứ giác AMPQ là hình chữ nhật

P là trung điểm của AB và MQ

Mà AB=MQ

Nên PQ= 1/2 AB=1/2 MQ

Xét tam giác AIB vuông tại I và có IP là đường trung tuyến

IP=1/2 AB

Nên PQ=IP

Vậy tam giác PIQ cân tại P

Tứ giác ABCD có:

A=D=90°

M là trung điểm của AC nên AM=MC =BM=AC÷2

Tứ giác ABCD có BD và AC là đường chéo

Xét 2 tam giác AMB và DMC

AMB=DMC(hai góc đối đỉnh)

AM=MC(chứng minh trên)

góc MAB=góc MCD(so le trong)

Vậy 2 tam giác AMB=CMD(g.c.g)

Vậy DM=BM (chứng minh trên)

Vì DM=BM nên M là trung điểm của BD nên

BD và AC bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm

Vậy ABCD là hình chữ nhật

Tứ giác AHCD có:

I là trung điểm của AC và DH

Cho AI=IC =DI=IH

AC và DH là đường chéo

Mà AH là đường cao nên

AH vuông góc với BC

Nên góc AHC là góc vuông và bằng 90°

Vậy tứ giác AHCD là hình chữ nhật