a) Xét tam giác ABQ và  tam giácB PM có:

PA = PB (vì P là trung điểm của AB)

^ =^BPM (hai góc đối đỉnh)

^QAP=^MBP (hai góc so le trong)

Suy ra tam giác ABQ= Tam giác BPM (g.c.g)

Suy ra PQ = PM.(hai cạnh tương ứng)

Do đó AQBM là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).

Mà ^QAM=90•(do AQ vuông tại AM) nên AQBM là hình chữ nhật.

b)

Xét tam giác AQB vuông tại Q có

P là trung điểm của AB nên QP là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền,

suy ra QP=AB/2.

Xét tam giác ABI vuông tại I có P là trung điểm của AB nên IP là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền, suy ra PI=AB/2

Do đó QP=PI(=AB/2) nên tam giác PIQ cân tại P.

Xét tam giác ABCcó :đường trung tuyến BM và BM=1/2AC

=>ΔABC vuông tại B: ^B=90•

Xét tứ giác ABCD có :

^A=^D=^B=90•

=>Tứ giác ABCD là hình chữ nhật 

Xét tứ giác AHCD có :

I là trung điểm AC (gt)

I là trung điểm HD (gt)

=> AHCD là hình bình hành (t/c)

Mà ^AHC = 90• ( AH ⊥ BC )

Suy ra AHCD là hình chữ nhật