a) Chứng minh \( MNPQ \) là hình bình hành: Xét \( \triangle BOM \) và \( \triangle DOP \): - \( \angle BOM = \angle DOP \) (đối đỉnh) - \( OB = OD \) (tính chất hình bình hành) - \( \angle OBM = \angle ODP \) (so le trong) Do đó, \( \triangle BOM \cong \triangle DOP \) (g.c.g), suy ra \( OM = OP \). Tương tự, xét \( \triangle BON \) và \( \triangle DOQ \): - \( \angle BON = \angle DOQ \) (đối đỉnh) - \( OB = OD \) (tính chất hình bình hành) - \( \angle OBN = \angle ODQ \) (so le trong) Do đó, \( \triangle BON \cong \triangle DOQ \) (g.c.g), suy ra \( ON = OQ \). Xét tứ giác \( MNPQ \): - \( OM = OP \) - \( ON = OQ \) Do đó, \( MNPQ \) là hình bình hành (tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường). b) Chứng minh \( MNPQ \) là hình thoi: Vì \( m \perp n \) nên \( MP \perp NQ \). Xét hình bình hành \( MNPQ \) có \( MP \perp NQ \), suy ra \( MNPQ \) là hình thoi (hình bình hành có hai đường chéo vuông góc). Vậy \( MNPQ \) là hình thoi.

a) Chứng minh \( MN \perp AC \): Vì \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( AB \) và \( CD \) nên \( MN \) song song với \( AD \) và \( BC \) và \( MN = AD = BC \). Do \( AD \perp AC \) nên \( MN \perp AC \). b) Tứ giác \( AMCN \) là hình gì? Vì \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( AB \) và \( CD \) nên \( AM = MB = CN = ND \). Lại có \( AB = CD \) (tính chất hình bình hành) nên \( AM = CN \). Xét tứ giác \( AMCN \): - \( AM = CN \) - \( AM \parallel CN \) (do \( AB \parallel CD \)) Do đó, \( AMCN \) là hình bình hành. Vậy tứ giác \( AMCN \) là hình bình hành.

Để chứng minh \( AGCH \) là hình thoi, ta cần chứng minh rằng \( AGCH \) là hình bình hành và có các cạnh bằng nhau hoặc các đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm. 1. *Chứng minh \( AGCH \) là hình bình hành:* Xét tam giác \( ABE \) và tam giác \( ADF \): - \( AB = AD \) (tính chất hình thoi) - \( BE = DF \) (theo giả thiết) - \( \angle ABE = \angle ADF \) (do \( ABCD \) là hình thoi nên \( \angle ABC = \angle ADC \)) Do đó, \( \triangle ABE \cong \triangle ADF \) (c.g.c). Từ đó suy ra \( \angle BAE = \angle DAF \), hay \( \angle GAB = \angle HAD \). Xét tam giác \( AEG \) và tam giác \( AFH \): - \( \angle GAE = \angle HAF \) (chứng minh trên) - \( \angle AEG = \angle AFH \) (do \( AB \parallel CD \), \( AE \) và \( AF \) là cát tuyến) Do đó, \( \triangle AEG \sim \triangle AFH \) (g.g). Vì \( AB = AD \) và \( BE = DF \), nên \( \frac{AG}{AH} = \frac{AE}{AF} = \frac{AB}{AD} = 1 \), suy ra \( AG = AH \). Tương tự, ta có thể chứng minh \( CG = CH \). 2. *Chứng minh \( AG = CG \) và \( AH = CH \):* Xét tam giác \( AGB \) và tam giác \( CGD \): - \( AB = CD \) (tính chất hình thoi) - \( \angle ABG = \angle CDG \) (so le trong) - \( \angle BAG = \angle DCG \) (do \( \triangle ABE \cong \triangle ADF \)) Do đó, \( \triangle AGB \sim \triangle CGD \) (g.g). Từ đó suy ra \( \frac{AG}{CG} = \frac{AB}{CD} = 1 \), suy ra \( AG = CG \). Tương tự, ta có thể chứng minh \( AH = CH \). Vậy \( AG = CG \) và \( AH = CH \), suy ra \( AG = CG = AH = CH \). Do đó, \( AGCH \) là hình thoi.

b

B

B

B