a) tứ giác AMBQ là hình bình hành

1. Chứng minh tứ giác AMBQ là hình bình hành.
   Ta có: Ax vuông góc với AC => góc MAQ = 90 độ.
2. • By song song với AC => góc MBA + góc BAC = 180 độ (hai góc trong cùng phía).
   • By song song với AC => MB song song với AQ.
   • Ax vuông góc với AC => MA vuông góc với AC => MA vuông góc với BQ.
     Xét tứ giác AMBQ, ta có:
     MB // AQ (do By // AC)
     MA // BQ (do Ax vuông góc AC và By // AC)
     => Tứ giác AMBQ là hình bình hành (tứ giác có các cạnh đối song song).
3. b)Tam giác PIQ cân tại P
4. Chứng minh tam giác PIQ cân.
   Vì AMBQ là hình bình hành, P là trung điểm của AB nên P cũng là trung điểm của MQ.
   => MP = PQ.
   Xét tam giác ABM, P là trung điểm của AB.
   => PI là đường trung tuyến của tam giác ABM.
   Trong tam giác vuông AMB (góc MAB = 90 độ), đường trung tuyến PI ứng với cạnh huyền AB nên PI = AB/2 = PA = PB.
   Ta có P là trung điểm của MQ => PQ = MQ/2.
   Vì AMBQ là hình bình hành nên AB = MQ.
   => PQ = MQ/2 = AB/2.
   Vậy PI = PQ = AB/2.
   => Tam giác PIQ cân tại P.

Bài 2:

1. Xác định các yếu tố đã cho.
   Hình thang vuông ABCD có ∠A=∠D=90∘. M là trung điểm của AC và BM=1/2AC
2. Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật.
   Vì M là trung điểm của AC nên AM=MC=1/2AC
   Mà BM=1/2AC (gt) nên AM=MC=BM
   Xét tam giác ABC, ta có AM = MC = BM nên tam giác ABC vuông tại B (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).
   Suy ra ∠ABC=90∘
   Hình thang ABCD có A=∠D=90∘ (gt) và ∠ABC=90∘ (cmt) nên ABCD là hình chữ nhật (hình thang có ba góc vuông).

Đáp án: Tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

Bài 1:

1. Xác định các yếu tố đã cho.
   Tam giác ABC có đường cao AH. I là trung điểm của AC. D thuộc tia HI sao cho IH = ID.
2. Chứng minh tứ giác AHCD là hình chữ nhật.
   Vì I là trung điểm của AC và IH = ID nên tứ giác AHCD có hai đường chéo AC và HD cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường. Do đó, AHCD là hình bình hành.
   Mặt khác, ∠AHC=90∘ (vì AH là đường cao).
   Vậy hình bình hành AHCD có một góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Đáp án: Tứ giác AHCD là hình chữ nhật.