• ABCD là hình bình hành. 
• E là trung điểm của AD. 
• F là trung điểm của BC. 

• Theo giả thiết, ABCD là hình bình hành, suy ra  AB⃗=DC⃗𝐴𝐵⃗=𝐷𝐶⃗.
• C là trung điểm của DF, suy ra  DC⃗=CF⃗𝐷𝐶⃗=𝐶𝐹⃗.
• Từ hai điều trên, ta có  AB⃗=CF⃗𝐴𝐵⃗=𝐶𝐹⃗.
• Tứ giác ABFC có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau ( AB⃗=CF⃗𝐴𝐵⃗=𝐶𝐹⃗), nên ABFC là hình bình hành. 

• Theo giả thiết, ABCD là hình bình hành, suy ra  AD⃗=BC⃗𝐴𝐷⃗=𝐵𝐶⃗.
• B là trung điểm của AE, suy ra  AB⃗=BE⃗𝐴𝐵⃗=𝐵𝐸⃗.
• ABFC là hình bình hành (đã chứng minh ở trên), suy ra  BC⃗=AF⃗𝐵𝐶⃗=𝐴𝐹⃗.
• Từ các điều trên, ta có  AD⃗=BC⃗=AF⃗𝐴𝐷⃗=𝐵𝐶⃗=𝐴𝐹⃗.
• Tứ giác AEFD có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau ( AD⃗=EF⃗𝐴𝐷⃗=𝐸𝐹⃗), nên AEFD là hình bình hành.

• OAM̂=OCN̂𝑂𝐴𝑀=𝑂𝐶𝑁(hai góc so le trong) 
• AOM̂=CON̂𝐴𝑂𝑀=𝐶𝑂𝑁(hai góc đối đỉnh) 

• OA=OC𝑂𝐴=𝑂𝐶(chứng minh trên) 
• OAM̂=OCN̂𝑂𝐴𝑀=𝑂𝐶𝑁(chứng minh trên) 
• AOM̂=CON̂𝐴𝑂𝑀=𝐶𝑂𝑁(chứng minh trên) 

Suy ra tứ giác  MBND𝑀𝐵𝑁𝐷là hình bình hành

• Ta có  AE=DF𝐴𝐸=𝐷𝐹(chứng minh trên). 
• Ta có  AB∥CD𝐴𝐵∥𝐶𝐷nên  AE∥DF𝐴𝐸∥𝐷𝐹.
• Tứ giác AEFD có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau ( AE∥DF𝐴𝐸∥𝐷𝐹và  AE=DF𝐴𝐸=𝐷𝐹). 
• Vậy tứ giác AEFD là hình bình hành. 

• Ta có  AE=FC𝐴𝐸=𝐹𝐶(chứng minh trên). 
• Ta có  AB∥CD𝐴𝐵∥𝐶𝐷nên  AE∥FC𝐴𝐸∥𝐹𝐶.
• Tứ giác AECF có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau ( AE∥FC𝐴𝐸∥𝐹𝐶và  AE=FC𝐴𝐸=𝐹𝐶). 
• Vậy tứ giác AECF là hình bình hành.

Chứng minh  EF=AD𝐸𝐹=𝐴𝐷

Chứng minh  AF=EC𝐴𝐹=𝐸𝐶