Xét tam giác :ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G (giả thiết) nên G là trọng tâm của ΔABC.

Suy ra GM=2GB ; GN=2GC (tính chất trọng tâm của tam giác) (1)

Mà P là trung điểm của GB (giả thiết) nên GP=PB= 2GB

(2)Q là trung điểm của GC (giả thiết) nên GQ=QC= 2GC

(3)Từ (1), (2) và (3) suy ra

GM=GP và GN=GQ.

Xét tứ giác PQMN có: GM=GP và

GN=GQ (chứng minh trên)

do đó tứ giác PQMN có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O.

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

Mà O là trung điểm của AF.

Suy ra O cũng là trung điểm của BC.

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

VìABCD là hình bình hành nên ta có:

+ Hai đường chéo

AC và BD cắt nhau tại

Onên OA=OC,OB=OD.

+ AB // CD nên AM // CN suy ra

OAM= OCN

OAM = OCN (hai góc so le trong).

Xét ΔOAM Δ OCN có:

$\widehat{O A M} = \widehat{O C N} (chứng minh trên)

OA=OC (chứng minh trên)

AOM=AOM

=\widehat{C O N} (hai góc đối đỉnh)

Do đó Δ OAM=Δ OCN (g.c.g).

Suy ra AM=CN (hai cạnh tương ứng).

Mặt khác, AB=CD (chứng minh trên);

AB=AM+BM; CD=CN+DN.

Suy ra BM=DN.

Xét tứ giác MBND có:

BM // DN (vì AB // CD)

BM=DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD.

Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE = BE = AB, CF = DF = CD

Do đó AE = BE = CF = DF.

Xét tứ giác AEFD có:AE // DF (vì AB // CD);

AE = DF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Xét tứ giác AECF có:AE // CF (vì AB // CD);

AE = CF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AECF là hình bình hành.

Vậy hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành.

b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD.

Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC.

Vậy EF = AD, AF = EC.