Xét tam giác ABC, ta có:

• CN là đường trung tuyến nên N là trung điểm của cạnh AB.

• BM là đường trung tuyến nên M là trung điểm của cạnh AC.

Do N là trung điểm của AB và M là trung điểm của AC, theo định lý về đường trung bình của tam giác, đoạn thẳng NM là đường trung bình của tam giác ABC.

Vì vậy, ta có:

1. NM song song với BC (NM || BC).

2. Độ dài của NM bằng một nửa độ dài của BC (NM = \frac{1}{2}BC).

Tiếp theo, xét tam giác GBC, ta có:

• P là trung điểm của cạnh GB.

• Q là trung điểm của cạnh GC.

Do P là trung điểm của GB và Q là trung điểm của GC, theo định lý về đường trung bình của tam giác, đoạn thẳng PQ là đường trung bình của tam giác GBC.

Vì vậy, ta có:

1. PQ song song với BC (PQ || BC).

2. Độ dài của PQ bằng một nửa độ dài của BC (PQ = \frac{1}{2}BC).

Bây giờ, ta xem xét tứ giác PQMN:

• Từ NM || BC và PQ || BC, suy ra NM || PQ.

• Từ NM = \frac{1}{2}BC và PQ = \frac{1}{2}BC, suy ra NM = PQ.

Tứ giác PQMN có một cặp cạnh đối là NM và PQ thỏa mãn hai điều kiện: song song với nhau và bằng nhau.

Do đó, theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành, tứ giác PQMN là một hình bình hành.

a) Tứ giác AEFD là hình bình hành vì \vec{AE} = 2\vec{AB} và \vec{DF} = 2\vec{DC}, kết hợp với \vec{AB} = \vec{DC} cho ta \vec{AE} = \vec{DF}. Tứ giác ABFC là hình bình hành vì \vec{AB} = \vec{DC} và \vec{DC} = \vec{CF} (C là trung điểm DF), suy ra \vec{AB} = \vec{FC}.

b) Gọi P là trung điểm BC, N là trung điểm DE, M là trung điểm AF. Sử dụng các biểu diễn vector dựa trên giả thiết ABCD là hình bình hành, B là trung điểm AE và C là trung điểm DF, ta có \vec{P} = \frac{\vec{B}+\vec{C}}{2}, \vec{N} = \frac{\vec{D}+\vec{E}}{2}, \vec{M} = \frac{\vec{A}+\vec{F}}{2}. Chứng minh rằng \vec{N} = \vec{P} và \vec{M} = \vec{P}, do đó ba trung điểm M, N, P trùng nhau.

1. Chứng minh △OAM = △OCN

Xét △OAM và △OCN, ta có:

• AO = OC (vì O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD, suy ra O là trung điểm của đường chéo AC).

• ∠OAM = ∠OCN (hai góc so le trong, do AB song song với CD và AC là đường cắt ngang).

• ∠AOM = ∠CON (hai góc đối đỉnh).

Do đó, △OAM = △OCN theo trường hợp góc-cạnh-góc (ASA).

2. Suy ra tứ giác MBND là hình bình hành

Từ △OAM = △OCN (chứng minh ở phần 1), ta suy ra OM = ON (hai cạnh tương ứng).

Vì ABCD là hình bình hành, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó, O là trung điểm của BD, suy ra BO = OD.

Xét tứ giác MBND, ta thấy hai đường chéo của nó là MN và BD cắt nhau tại O.

• O là trung điểm của MN (vì OM = ON).

• O là trung điểm của BD (vì BO = OD).

Tứ giác MBND có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, do đó MBND là hình bình hành.

Ta có hình bình hành ABCD.

Vì ABCD là hình bình hành nên hai cạnh đối AB và CD song song với nhau (AB || CD) và bằng nhau (AB = CD).

E là trung điểm của cạnh AB, nên AE = EB = \frac{1}{2}AB.

F là trung điểm của cạnh CD, nên CF = FD = \frac{1}{2}CD.

Vì AB = CD, ta suy ra \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD. Do đó, AE = EB = CF = FD.

a) Chứng minh hai tứ giác AEFD, AECF là hình bình hành:

• Chứng minh tứ giác AEFD là hình bình hành:

Ta có AE = FD (do AE = \frac{1}{2}AB và FD = \frac{1}{2}CD, mà AB = CD).

Ta có AE nằm trên AB và FD nằm trên CD. Vì AB ∥ CD, nên AE ∥ FD.

Tứ giác AEFD có một cặp cạnh đối diện (AE và FD) vừa song song vừa bằng nhau, nên AEFD là hình bình hành.

• Chứng minh tứ giác AECF là hình bình hành:

Ta có AE = CF (do AE = \frac{1}{2}AB và CF = \frac{1}{2}CD, mà AB = CD).

Ta có AE nằm trên AB và CF nằm trên CD. Vì AB ∥ CD, nên AE ∥ CF.

Tứ giác AECF có một cặp cạnh đối diện (AE và CF) vừa song song vừa bằng nhau, nên AECF là hình bình hành.

b) Chứng minh EF = AD, AF = EC:

• Chứng minh EF = AD:

Từ kết quả câu a), ta đã chứng minh được tứ giác AEFD là hình bình hành.

Trong hình bình hành, các cạnh đối diện bằng nhau. Do đó, EF = AD.

• Chứng minh AF = EC:

Từ kết quả câu a), ta đã chứng minh được tứ giác AECF là hình bình hành.

Trong hình bình hành, các cạnh đối diện bằng nhau. Do đó, AF = EC.