Ta có:

AH vuông góc BD, CK vuông góc BD AH//CK

Tam giác ABH và tam giác CDK có

Góc AHB = góc CDK =90°

Góc AHB= góc CDK 2 góc sole trong

AB = CD tính chất hình bình hành

Tam giác ABH = tam giác CDK ( cạnh huyền góc nhọn )

AH=CK

Từ 1,2 tứ giác AHCK là hình bình hành

 ABCD là hình bình hành nên AD=BC và AD//BC mà E pà trung điểm của AD nên AE=ED

F là trung điểm BC nên BF=FC

Suy ra DE=BF

Xét tứ giác EBFD có DE//BF ( do AD//BC ) và DE= BF nên là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết) 

Xét tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

P là trung điểm của GB nên GP=PB GB/2

Q là trung điểm của GC nên GQ = QC GC/2

Từ 1,2,3 suy ra GM=GP và GN=GQ

Xét tứ giác PQMN có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành.

Do đó ABCD là hình bình hành AB//CD,DC=AB, suy ra AE//DF,AE= 2AB=2CD=DF

AEFD là hình bình hành

Tương tự tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành

b, vì AEFD pà hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường

Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường

Vậy ba trung điểm của AF,DE,BC trùng nhau.  

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA=OC,OB=OD

AB//CD nên AM//CN suy ra góc OAM = OCN ( hai góc sole trong )

Xét tam giác OAM và OCN có:

Góc AOM =góc OCN(chứng minh trên)

OA=OC (chứng minh trên )

AOM=CON (hai góc đối đỉnh )

Do đó tam giác AOM =  tam giác OCN (g.c.g)

Suy ra AM = CN ( hai cạnh tương ứng )

Mặt khác AB= CD, AB=AM + BM=CD=CN+DN

Suy ra BM=DN

Xét tứ giác MBND có:

BM//DN (vì AB//CD)

BM//DN ( chứng minh trên )

Do đó tứ giác MBND là hình bình hành  

Do ABCD là hình bình hành nên AB//CD,AB=CD từ đó AE//CF,AE=EB=DF=FC do đó tứ giác AEFC là hình bình hành

Tương tự tứ giác AECF là hình bình hành vì có AE và CF song song và bằng nhau

b,Vì AEFD là hình bình hành nên AD=EF vì AECF là hình bình hành nên AF=EC