Ta có \(4^{x} = \left(\right. 2^{2} \left.\right)^{x} = 2^{2 x}\) và \(3 \cdot 2^{x + 2} = 12 \cdot 2^{x}\). Đặt \(t = 2^{x}\) (với \(t > 0\)), phương trình trở thành

\(t^{2} - 12 t + m = 0.\)

Gọi \(t_{1} , t_{2}\) là hai nghiệm của phương trình theo \(t\), tương ứng với hai nghiệm \(x_{1} , x_{2}\) của phương trình đã cho. Khi đó

\(t_{1} + t_{2} = 12 , t_{1} t_{2} = m .\)

Do \(t = 2^{x}\) nên \(x = \left(log ⁡\right)_{2} t\). Suy ra

\(x_{1} + x_{2} = \left(log ⁡\right)_{2} t_{1} + \left(log ⁡\right)_{2} t_{2} = \left(log ⁡\right)_{2} \left(\right. t_{1} t_{2} \left.\right) = \left(log ⁡\right)_{2} m .\)

Theo giả thiết \(x_{1} + x_{2} = 5\), nên

\(\left(log ⁡\right)_{2} m = 5 \Rightarrow m = 2^{5} = 32.\)

Kiểm tra điều kiện có hai nghiệm phân biệt:

\(\Delta = 144 - 4 m = 144 - 128 = 16 > 0\)

nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(t_{1} , t_{2} > 0\), suy ra có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} , x_{2}\).

Ta có xác suất bắn không trúng của lần thứ nhất là \(P \left(\right. A \left.\right) = 0 , 2\), của lần thứ hai là \(P \left(\right. B \left.\right) = 0 , 3\). Do đó xác suất bắn trúng tương ứng là \(P \left(\right. \overset{\overline}{A} \left.\right) = 0 , 8\) và \(P \left(\right. \overset{\overline}{B} \left.\right) = 0 , 7\).

Giả sử hai lần bắn là độc lập.

a) Biến cố “Lần thứ nhất trúng bia, lần thứ hai không trúng bia” là \(\overset{\overline}{A} \cap B\). Khi đó xác suất của biến cố này là
\(P \left(\right. \overset{\overline}{A} \cap B \left.\right) = P \left(\right. \overset{\overline}{A} \left.\right) \cdot P \left(\right. B \left.\right) = 0 , 8 \cdot 0 , 3 = 0 , 24\).

b) Biến cố “Có ít nhất một lần bắn trúng bia” là biến cố đối của biến cố “Cả hai lần đều không trúng bia”, tức là \(A \cap B\). Ta có
\(P \left(\right. A \cap B \left.\right) = P \left(\right. A \left.\right) \cdot P \left(\right. B \left.\right) = 0 , 2 \cdot 0 , 3 = 0 , 06\).

Vì vậy xác suất cần tìm là
\(P=1-0,06=0,94\).\(\)\(\)

Đặt hệ trục tọa độ \(O x y z\) sao cho \(A \left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right)\), \(B \left(\right. a , 0 , 0 \left.\right)\), \(D \left(\right. 0 , a , 0 \left.\right)\), \(C \left(\right. a , a , 0 \left.\right)\). Khi đó đáy \(A B C D\) nằm trên mặt phẳng \(O x y\).

Vì các tam giác \(S A B\) và \(S A D\) vuông tại \(A\) nên \(S A\) vuông góc với cả \(A B\) và \(A D\), suy ra \(S A\) vuông góc với mặt phẳng \(\left(\right. A B C D \left.\right)\). Do \(S A = 2 a\) nên ta có \(S \left(\right. 0 , 0 , 2 a \left.\right)\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(C D\), suy ra \(M \left(\right. \frac{a}{2} , a , 0 \left.\right)\).

Xét mặt phẳng \(\left(\right. S B M \left.\right)\). Ta có các vectơ \(\overset{⃗}{S B} = \left(\right. a , 0 , - 2 a \left.\right)\) và \(\overset{⃗}{S M} = \left(\right. \frac{a}{2} , a , - 2 a \left.\right)\). Khi đó một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
\(\overset{⃗}{n} = \overset{⃗}{S B} \times \overset{⃗}{S M} = \left(\right. 2 a^{2} , a^{2} , a^{2} \left.\right)\), có thể rút gọn thành \(\left(\right. 2 , 1 , 1 \left.\right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left(\right. S B M \left.\right)\) là
\(2 x + y + z - 2 a = 0\).

Khoảng cách từ điểm \(D \left(\right. 0 , a , 0 \left.\right)\) đến mặt phẳng \(\left(\right. S B M \left.\right)\) được tính theo công thức

Vậy khoảng cách từ điểm \(D\) đến mặt phẳng \(\left(\right. S B M \left.\right)\) là \(\frac{a \sqrt{6}}{6}\).