Gọi M,N,P lần lượt là giao của BF với CD, BE với CD và FE với AB

Theo Talet ta có các tỉ số sau:⎧⎪
⎪⎨⎪
⎪⎩DMAB=DFFADHAP=FDFA⇒DMAB=DHAP⇒DM=AB.DHAP(1)

Tương tự, vì AB//HC nên: NCAB=CHAP (cùng bằng ECEA)

⇒NC=CH.ABAP(2)

Mà DH=CH nên từ (1),(2)⇒DM=NC⇒ΔBDM=ΔBCN(cgc)⇔ˆDBF=ˆEBC

a) Vì ABCD là hình bình hành nên :

• AD // BC hay AD // BK

• AB // CD hay AB // DG

Áp dụng định lí Thalès ta có:

• AD // BK suy ra AEEK=EDEB (1)

• AB // DG suy ra EDEB=EGAE (2)

Từ (1) và (2) suy ra AEEK=EGAE

Do đó AE2 = EK.EG (đpcm).

Xét tam giác \(A A^{'} C\)có \(M , B , B^{'}\)lần lượt nằm trên các cạnh \(A A^{'} , A^{'} C , C A\)và \(M , B , B^{'}\)thẳng hàng, do đó theo định lí Menelaus ta có: 

\(\frac{M A}{M A^{'}} . \frac{B A^{'}}{B C} . \frac{B^{'} C}{B^{'} A} = 1 \Leftrightarrow \frac{M A}{M A^{'}} . \frac{B A^{'}}{B C} = \frac{B^{'} A}{B^{'} C}\)

Tương tự khi xét tam giác \(A A^{'} B\)với các điểm \(M , B , B^{'}\)ta cũng có: 

\(\frac{M A}{M A^{'}} . \frac{C A^{'}}{C B} = \frac{C^{'} A}{C^{'} B}\)

Suy ra \(\frac{B^{'} A}{B^{'} C} + \frac{C^{'} A}{C^{'} B} = \frac{M A}{M A^{'}} \left(\right. \frac{B A^{'}}{B C} + \frac{C A^{'}}{C B} \left.\right) = \frac{M A}{M A^{'}} . \frac{B C}{B C} = \frac{M A}{M A^{'}}\).

Ta có đpcm.