a) \(\Delta � � � \sim \Delta � � �\) (g.g) suy ra \(\frac{� �}{� �} = \frac{� �}{� �}\) hay \(� �^{2} = � � . � �\) (1)

Chứng minh tương tự:

\(\Delta � � � \sim \Delta � � �\) (g.g) suy ra \(\frac{� �}{� �} = \frac{� �}{� �}\) hay \(� �^{2} = � � . � �\) (2)

Mà \(\Delta � � � \sim \Delta � � �\) (g.g) suy ra \(\frac{� �}{� �} = \frac{� �}{� �}\) hay \(� � . � � = � � . � �\) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có \(� �^{2} = � �^{2}\) suy ra \(� � = � �\).

b) Vì \(\hat{�} = 60^{\circ}\) suy ra \(\hat{�_{1}} = 30^{\circ}\)

Trong tam giác \(� � �\) vuông tại \(�\) nên \(� � = \frac{1}{2} � � ,\)

Trong tam giác \(� � �\) vuông tại \(�\) có \(\hat{�_{1}} = 30^{\circ}\) suy ra \(� � = \frac{1}{2} � �\).

Do đó, \(\Delta � � � \sim \Delta � � �\) (c.g.c).

suy ra \(\frac{�_{� � �}}{�_{� � �}} = \left(\left(\right. \frac{� �}{� �} \left.\right)\right)^{2} = \frac{1}{4}\).

Vậy \(�_{� � �} = \frac{1}{4} . 120 = 30\) cm\(^{2}\).

Gọi \(� �\) cắt \(� �\) tại \(�\), \(� �\) cắt \(� �\) tại \(�\), và \(� �\) cắt \(� �\) tại \(�\).

\(\Delta � � �\) có \(� �\) // \(� �\) suy ra \(\frac{� �}{� �} = \frac{� �}{� �}\) (1)

\(\Delta � � �\) có \(� �\) // \(� �\) suy ra \(\frac{� �}{� �} = \frac{� �}{� �}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{� �}{� �} = \frac{� �}{� �}\) hay \(\frac{� �}{� �} = \frac{� �}{� �}\) (*)

Tương tự \(\Delta � � �\) có \(� �\) // \(� �\) suy ra \(\frac{� �}{� �} = \frac{� �}{� �}\) (3)

\(\Delta � � �\) có \(� �\) // \(� �\) suy ra \(\frac{� �}{� �} = \frac{� �}{� �}\) (4)

Từ (3) và (4) ta có \(\frac{� �}{� �} = \frac{� �}{� �}\) hay \(\frac{� �}{� �} = \frac{� �}{� �}\) (**)

Từ (*) và (**) ta có \(\frac{� �}{� �} = \frac{� �}{� �}\).

Mà \(� � = � �\) (gt) suy ra \(� � = � �\)

Mặt khác \(� � = � �\) (gt) nên \(\Delta � � �\) cân

Suy ra \(\hat{� � �} = \hat{� � �}\)

Vậy \(\Delta � � � = \Delta � � �\) (c.g.c)

Suy ra \(\hat{� � �} = \hat{� � �}\).

a) \(\Delta � � �\) có \(� �\) // \(� �\) suy ra \(\frac{� �}{� �} = \frac{� �}{� �}\) (1)

\(\Delta � � �\) có \(� �\) // \(� �\) suy ra \(\frac{� �}{� �} = \frac{� �}{� �}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có \(\frac{� �}{� �} = \frac{� �}{� �}\) nên \(� �^{2} = � � . � �\).

b) Từ \(\frac{1}{� �} = \frac{1}{� �} + \frac{1}{� �}\) suy ra \(\frac{� �}{� �} + \frac{� �}{� �} = 1\)

\(\Delta � � �\) có \(� �\) // \(� �\) suy ra \(\frac{� �}{� �} = \frac{� �}{� �}\)

     \(\frac{� �}{� � + � �} = \frac{� �}{� � + � �}\)

     \(\frac{� �}{� �} = \frac{� �}{� �}\) (3)

Tương tự \(\Delta � � �\) có \(� �\) // \(� �\) suy ra \(\frac{� �}{� �} = \frac{� �}{� �}\)

     \(\frac{� �}{� � + � �} = \frac{� �}{� � + � �}\)

     \(\frac{� �}{� �} = \frac{� �}{� �}\) (4)

Khi đó \(\frac{� �}{� �} + \frac{� �}{� �} = \frac{� �}{� �} + \frac{� �}{� �} = 1\).

c) Ta có \(\frac{� �}{� �} = \frac{� �}{� �}\) suy ra \(� � = \frac{� � . � �}{� �}\) và \(\frac{� �}{� �} = \frac{� �}{� �}\).

Suy ra \(� � = \frac{� � . � �}{� �}\)

Nhân theo vế ta được \(� � . � � = � � . � �\) không đổi.

Qua \(�\) vẽ đường thẳng song song với \(� �\) cắt \(� �^{'}\) tại \(�\) và cắt \(� �^{'}\) tại \(�\).

Khi đó 

\(\Delta � � �\) có \(� �\) // \(�^{'} �\) suy ra \(\frac{� �}{�^{'} �} = \frac{� �}{�^{'} �}\) (1)

\(\Delta � � �\) có \(� �\) // \(�^{'} �\) suy ra \(\frac{� �}{�^{'} �} = \frac{� �}{�^{'} �}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có \(\frac{� �}{�^{'} �} = \frac{� �}{�^{'} �} = \frac{� �}{�^{'} �} = \frac{� � + � �}{�^{'} � + �^{'} �} = \frac{� �}{� �}\) (*)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

\(\Delta � �^{'} �\) có \(� �\) // \(� �\) suy ra \(\frac{� �^{'}}{�^{'} �} = \frac{� �}{� �}\) (3)

\(\Delta � �^{'} �\) có \(� �\) // \(� �\) suy ra \(\frac{� �^{'}}{�^{'} �} = \frac{� �}{� �}\) (4)

Từ (3) và (4) ta có \(\frac{� �^{'}}{�^{'} �} + \frac{� �^{'}}{� �^{'}} = \frac{� �}{� �} + \frac{� �}{� �} = \frac{� �}{� �}\) (**)

Từ (*) và (**) ta có \(\frac{� �}{�^{'} �} = \frac{� �}{� �} = \frac{� �^{'}}{�^{'} �} + \frac{� �^{'}}{� �^{'}}\) (đpcm).