Ta có: \(1 , 8\) m = 180 cm

Gọi \(r\) (cm) là bán kính của đường tròn nhỏ

Đường kính của đường tròn nhỏ là \(2 r\) (cm) \(\left(\right. r > 0 \left.\right)\)

Đường kính của đường tròn lớn là: \(2.2 r = 4 r\) (cm)

Ta có: \(2 r + 4 r = 180\) (vì \(\left(\right. O \left.\right)\) tiếp xúc với \(\left(\right. O ’ \left.\right)\))

\(6 r = 180\)

\(r = 30\) cm.

Vậy để đắp người tuyết có chiều cao là \(1 , 8\) m thì ta cần đắp hai quả cầu tuyết có đường kính lần lượt là \(60\) cm và \(120\) cm.

a) Ta có: \(OB=OD\) nên \(\Delta O D B\) cân tại \(O\).

Mà \(O C\) là đường cao của \(\Delta O D B\).

Nên \(O C\) cũng là đường phân giác của \(\Delta O D B\).

Suy ra \(\hat{B O C} = \hat{C O D}\) hay \(\hat{B O A} = \hat{A O D}\).

Xét \(\Delta A B O\) và \(\Delta A D O\) có:

\(O B = O D \left(\right. = R \left.\right)\)

\(\hat{B O A} = \hat{A O D}\) (chứng minh trên)

Cạnh \(O A\) chung

Do đó \(\Delta A B O = \Delta A D O\) (c-g-c)

Suy ra \(\hat{A B O} = \hat{A D O} = 9 0^{\circ}\).

Do đó \(A D\) là tiếp tuyến của \(\left(\right. O \left.\right)\)

Từ \(\left(\right. 1 \left.\right)\) và \(\left(\right. 2 \left.\right)\) suy ra \(\hat{B O A} = \hat{D E O}\).

Mà hai góc này nằm ở vị trí đồng vị nên \(O A / / D E\).

b) Vì \(F\) thuộc đường tròn đường kính \(B E\) nên \(\hat{B F E} = 9 0^{\circ}\)

Xét \(\Delta A B E\) vuông tại \(B\) có: \(B F\) là đường cao

Suy ra \(A E . A F = A B^{2}\)

Chứng minh tương tự, ta có: \(A C . A O = A D^{2} .\)

Mà \(A B = A D\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Do đó \(A B^{2} \&\text{nbsp}; = A D^{2}\)

Suy ra: \(A E . A F = A C . A O\).

c) Vì \(D\) thuộc đường tròn đường kính BE nên \(\hat{B D E} = 9 0^{\circ}\).

Ta có: \(B D\) là đường cao của \(\Delta B G E\); \(E F\) là đường cao của \(\Delta B G E\).

Mà \(B D , E F\) cắt nhau tại \(H\).

Do đó \(H\) là trực tâm của \(\Delta B G E\).

Suy ra: \(G H \&\text{nbsp}; ⊥ \&\text{nbsp}; B E ; \&\text{nbsp}; A B \&\text{nbsp}; ⊥ \&\text{nbsp}; B E\)

Nên \(G H / / A B\).

Xét \(\Delta B I E\)có: \(B O = E O \left(\right. = R \left.\right) ; A O / / E I \left(\right. A O / / D E \left.\right)\).

Do đó \(A B = A I\).

Gọi vị trí ban đầu của người đó là điểm \(A\).

Vì thời gian thực hiện mỗi vòng của đu quay là \(30\) phút nên khi đu quay quay đều thì \(10\) phút người đó đi được \(\frac{1}{3}\) vòng tròn và đang ở vị trí điểm \(B\) như hình vẽ sau:

Gọi \(A^{'} , B^{'}\) lần lượt là hình chiếu của \(A , B\) trên mặt đất, kẻ \(O H ⊥ B B^{'}\).Ta có: \(\hat{A O B} = \frac{1}{3} . 36 0^{\circ} = 12 0^{\circ} , \&\text{nbsp}; O A^{'} = 80\) m.

Vì \(O A^{'} B^{'} H\) là hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vuông) nên \(H B^{'} = O A^{'} = 80\) (m).

Ta có: \(\hat{A O H} = 9 0^{\circ}\)

\(\hat{B O H} = 12 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 3 0^{\circ}\)

Xét tam giác vuông \(O B H\) có: 

\(B H = O B . sin ⁡ 3 0^{\circ} = 75. \frac{1}{2} = 37 , 5\) (m)

\(B B^{'} = B H + H B^{'} = 37 , 5 + 80 = 117 , 5\) (m).

Vậy sau \(10\) phút người đó ở độ cao \(117 , 5\) m so với mặt đất.