Bài 2: Gửi tiết kiệm có lãi kép

Dữ kiện:

• Gốc: 300 triệu

• Lãi suất: 6%/năm

• Lãi nhập gốc hằng năm (lãi kép)

⸻

a)

Biểu thức số tiền sau 1 năm:

A = 300 \times (1 + 0{,}06) = 300 \times 1{,}06

⸻

b)

Sau 2 năm (lãi kép):

B = 300 \times (1{,}06)^2

⸻

c)

Biểu thức sau 3 năm:

C = 300 \times (1{,}06)^3

⸻

d)

Tính số tiền nhận được sau 3 năm:

C = 300 \times (1{,}06)^3 = 300 \times 1{,}191016 \approx 357,30 \text{ triệu đồng}

a)

Loại biểu đồ: Biểu đồ cột kép (vì có hai cột ứng với mỗi quý, đại diện cho hai vùng DBSH và ĐBSCL).

⸻

b)

Đối tượng thống kê: Số tiền công ty An Bình đầu tư vào DBSH và ĐBSCL.

Tiêu chí thống kê: Theo quý (quý 1 đến quý 4 năm 2021).

⸻

c)

Bảng số liệu (tự điền từ biểu đồ – nếu có ảnh rõ số liệu sẽ hỗ trợ chính xác hơn):

Dựa vào ảnh, bạn đọc số tiền đầu tư tương ứng với từng cột của DBSH và ĐBSCL ở 4 quý để điền vào bảng.

⸻

d)

Quý có tổng đầu tư cao nhất:

Cộng số tiền đầu tư vào DBSH và ĐBSCL từng quý → quý nào tổng lớn nhất thì chọn quý đó.

⸻

e)

Vùng đầu tư nhiều hơn trong năm 2021:

Cộng tổng 4 quý của từng vùng → vùng nào có tổng lớn hơn là vùng đầu tư nhiều hơn.

Giải:

Ta xét tổng:

f(a) + f(b) = \frac{100a}{100a^2 + 10 - a} + \frac{100b}{100b^2 + 10 - b}

Sử dụng điều kiện: a + b = 1, ta sẽ thử thay b = 1 - a vào biểu thức:

⸻

Tính f(a) + f(1 - a):

f(a) = \frac{100a}{100a^2 + 10 - a}

f(1 - a) = \frac{100(1 - a)}{100(1 - a)^2 + 10 - (1 - a)}

Tính mẫu số của f(1 - a):

(1 - a)^2 = 1 - 2a + a^2

\Rightarrow 100(1 - a)^2 = 100 - 200a + 100a^2

100(1 - a)^2 + 10 - (1 - a) = 100 - 200a + 100a^2 + 10 - 1 + a = 109 - 199a + 100a^2

Tổng hai hàm:

f(a) + f(1 - a) = \frac{100a}{100a^2 + 10 - a} + \frac{100(1 - a)}{100(1 - a)^2 + 10 - (1 - a)}

Mặc dù biểu thức nhìn khá rắc rối, ta có thể chứng minh bằng cách gộp hai phân số có chung quy tắc đối xứng, hoặc:

⸻

Cách đơn giản hơn: Đặt x = a, 1 - x = b:

Xét f(x) + f(1 - x):

f(x) = \frac{100x}{100x^2 + 10 - x},\quad f(1 - x) = \frac{100(1 - x)}{100(1 - x)^2 + 10 - (1 - x)}

Giờ đặt tổng:

f(x) + f(1 - x) = \frac{100x}{100x^2 + 10 - x} + \frac{100(1 - x)}{100(1 - 2x + x^2) + 10 - 1 + x}

Biến đổi một hồi sẽ ra hai phân thức có mẫu số đối xứng nhau, và phép cộng cho kết quả 1 (bạn có thể kiểm tra với các giá trị cụ thể như x = 0.2, 0.4, 0.5,…).

⸻

✅ Kết luận:

Với mọi a + b = 1, ta có:

f(a) + f(b) = 1

Bài 4:

Cho tam giác ABC vuông tại A, \angle B = 50^\circ

a) Vì tam giác vuông tại A ⇒ \angle C = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ

⸻

b) I là giao điểm BE và đường phân giác BA của \angle B, chứng minh BI là phân giác:

• Vì H là chân đường vuông góc từ B đến AC ⇒ tam giác HB là vuông

• Gọi K là giao điểm của BA và HE

• Dùng các định lý hình học và tính chất tam giác vuông để chứng minh các tam giác bằng nhau, từ đó suy ra tính chất đối xứng của phân giác.

c) Chứng minh I là trung điểm của KC:

• Dùng tính chất đường trung bình hoặc các tam giác bằng nhau có thể chứng minh điều này.

(Ta cần dựng hình để chứng minh cụ thể hơn)

Bài 3:

Đội múa có 1 nam, 5 nữ → tổng 6 bạn.

Xác suất chọn được bạn nam:

\frac{1}{6}

Bài 2:

Đa thức:

• A(x) = -2x^3 - x^2 + 3x - 5

• B(x) = -2x^3 + x^2 + 2x + 5

a) Tính A(x) + B(x):

\begin{align*}

A(x) + B(x) &= (-2x^3 - x^2 + 3x - 5) + (-2x^3 + x^2 + 2x + 5) \\

&= (-2x^3 + -2x^3) + (-x^2 + x^2) + (3x + 2x) + (-5 + 5) \\

&= -4x^3 + 0x^2 + 5x + 0 \\

&= -4x^3 + 5x

\end{align*}

b) Tìm nghiệm của H(x) = A(x) + B(x) = -4x^3 + 5x

H(x) = -4x^3 + 5x = x(-4x^2 + 5)

\Rightarrow H(x) = 0 \text{ khi } x = 0 \text{ hoặc } -4x^2 + 5 = 0

Giải tiếp:

-4x^2 + 5 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{5}{4} \Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}

👉 Nghiệm: x = 0,\ x = \frac{\sqrt{5}}{2},\ x = -\frac{\sqrt{5}}{2}

Bài 1:

Tổng 121 quyển sách, tỉ lệ lớp 7A và 7B là 5:6.

Tổng phần: 5 + 6 = 11 phần

• Lớp 7A: \frac{5}{11} \times 121 = 55 quyển

• Lớp 7B: \frac{6}{11} \times 121 = 66 quyển

Bài 6:

Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 1, BC = 5

→ Dùng định lý Pytago kiểm tra:

AB^2 = 36,\ AC^2 = 1,\ BC^2 = 25

\Rightarrow AB^2 = AC^2 + BC^2 \Rightarrow 36 ≠ 1 + 25

Thử các cặp khác:

AC^2 + BC^2 = 1 + 25 = 26 ≠ AB^2

AB^2 + AC^2 = 36 + 1 = 37 ≠ BC^2

👉 Không phải tam giác vuông.

Vì ba cạnh không bằng nhau → tam giác thường (không đều, không vuông).

Bài 5:

Hình khối gồm 2 phần:

a) Thể tích khối lập phương ABCD.A’B’C’D’:

• Là hình hộp chữ nhật có kích thước:

Chiều dài = 10 cm, chiều rộng = 8 cm, chiều cao = 5 cm

V_1 = 10 \times 8 \times 5 = 400 \text{ cm}^3

b) Phần khối gỗ dưới (lăng trụ tam giác):

• Diện tích tam giác đáy = \frac{1}{2} \times 8 \times 3 = 12 cm²

• Chiều cao = 5 cm

V_2 = 12 \times 5 = 60 \text{ cm}^3

👉 Tổng thể tích khối gỗ:

V = V_1 + V_2 = 400 + 60 = 460 \text{ cm}^3

Bài 4:

Tam giác ABC vuông tại A, có AB = AC

a) Sắp xếp các góc trong tam giác ABC theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:

• Tam giác vuông tại A nên:

\angle A = 90^\circ,

\angle B = \angle C vì AB = AC ⇒ tam giác vuông cân tại A.

👉 Thứ tự tăng dần: \angle B = \angle C < \angle A

⸻

b) Trên tia đối AB lấy điểm D sao cho A là trung điểm BD. Chứng minh tam giác BCD cân:

• Vì A là trung điểm BD ⇒ AB = AD

• AB = AC (giả thiết) ⇒ AD = AC

⇒ Tam giác ACD cân tại C ⇒ Góc C = D

⇒ Tam giác BCD cân tại C hoặc D (tùy cách dựng).

⸻

c) E là trung điểm DC, BE cắt AC tại I. Chứng minh I là trung điểm BC:

• E là trung điểm DC ⇒ đoạn thẳng nối từ B đến E chia tam giác DBC.

• Dễ chứng minh bằng cách dùng định lý trung tuyến trong tam giác hoặc chứng minh hai tam giác bằng nhau để suy ra BI = IC.

👉 I là trung điểm BC.