a) Chứng minh \(A H C K\) là hình bình hành

Xét các vectơ cạnh trong tứ giác \(A \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ H \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ C \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ K\).

\(\overset{\rightarrow}{A H} = H - A = \left(\right. x_{A} , 0 \left.\right) - \left(\right. x_{A} , y_{A} \left.\right) = \left(\right. 0 , - y_{A} \left.\right) ,\) \(\overset{\rightarrow}{C K} = K - C = \left(\right. - x_{A} , 0 \left.\right) - \left(\right. - x_{A} , - y_{A} \left.\right) = \left(\right. 0 , y_{A} \left.\right) .\)

Do đó \(\overset{\rightarrow}{A H} = - \overset{\rightarrow}{C K}\). Vậy \(A H \parallel C K\) và \(A H = C K\).

Xét hai vectơ còn lại:

\(\overset{\rightarrow}{A K} = K - A = \left(\right. - x_{A} , 0 \left.\right) - \left(\right. x_{A} , y_{A} \left.\right) = \left(\right. - 2 x_{A} , - y_{A} \left.\right) ,\) \(\overset{\rightarrow}{H C} = C - H = \left(\right. - x_{A} , - y_{A} \left.\right) - \left(\right. x_{A} , 0 \left.\right) = \left(\right. - 2 x_{A} , - y_{A} \left.\right) .\)

Do đó \(\overset{\rightarrow}{A K} = \overset{\rightarrow}{H C}\), tức \(A K \parallel H C\) và \(A K = H C\).

Vì hai cặp cạnh đối diện của \(A H C K\) lần lượt song song (và bằng nhau), suy ra \(A H C K\) là hình bình hành.

b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(H K\). Chứng minh \(I B = I D\).

Từ toạ độ ở trên \(H = \left(\right. x_{A} , 0 \left.\right)\) và \(K = \left(\right. - x_{A} , 0 \left.\right)\). Trung điểm của \(H K\) là

\(I = \left(\right. \frac{x_{A} + \left(\right. - x_{A} \left.\right)}{2} , \textrm{ } \frac{0 + 0}{2} \left.\right) = \left(\right. 0 , 0 \left.\right) .\)

Nhưng \(\left(\right. 0 , 0 \left.\right)\) chính là toạ độ của \(O\) (ta đã đặt \(O\) là gốc). Do đó \(I\) trùng với \(O\), trung điểm của \(B D\). Vì \(O\) là trung điểm của \(B D\) nên \(O B = O D\), tức \(I B = I D\).

(Nói ngắn gọn bằng ngôn ngữ hình học: hình chiếu của hai điểm đối xứng \(A\) và \(C\) lên một đường thẳng đối xứng qua trung điểm \(O\) sẽ là hai điểm đối xứng nhau quanh \(O\); nên trung điểm \(I\) của hai hình chiếu chính là \(O\). Do \(O\) là trung điểm của \(B D\), ta có \(I B = I D\).)

a) \(E B F D\) là hình bình hành

Dùng vectơ (hoặc toạ độ) cho gọn. Lấy \(A\) làm gốc, đặt
\(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{b} , \&\text{nbsp}; \overset{⃗}{A D} = \overset{⃗}{d}\). Khi đó

\(\overset{⃗}{A} = \overset{⃗}{0} , \overset{⃗}{B} = \overset{⃗}{b} , \overset{⃗}{D} = \overset{⃗}{d} , \overset{⃗}{C} = \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{d} .\)

Vì \(E\) là trung điểm của \(A D\) và \(F\) là trung điểm của \(B C\), nên

\(\overset{⃗}{E} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{D}}{2} = \frac{\overset{⃗}{d}}{2} , \overset{⃗}{F} = \frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{2} = \frac{\overset{⃗}{b} + \left(\right. \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{d} \left.\right)}{2} = \overset{⃗}{b} + \frac{\overset{⃗}{d}}{2} .\)

Tính các vectơ cạnh:

\(\overset{\rightarrow}{E B} = \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{E} = \overset{⃗}{b} - \frac{\overset{⃗}{d}}{2} ,\) \(\overset{\rightarrow}{F D} = \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{F} = \overset{⃗}{d} - \left(\right. \overset{⃗}{b} + \frac{\overset{⃗}{d}}{2} \left.\right) = - \overset{⃗}{b} + \frac{\overset{⃗}{d}}{2} = - \left(\right. \overset{⃗}{b} - \frac{\overset{⃗}{d}}{2} \left.\right) .\)

Do đó \(\overset{\rightarrow}{E B} = - \overset{\rightarrow}{F D}\), nghĩa là \(E B \parallel F D\) và \(E B = F D\).

Tiếp,

\(\overset{\rightarrow}{B F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{B} = \left(\right. \overset{⃗}{b} + \frac{\overset{⃗}{d}}{2} \left.\right) - \overset{⃗}{b} = \frac{\overset{⃗}{d}}{2} ,\) \(\overset{\rightarrow}{E D} = \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{E} = \overset{⃗}{d} - \frac{\overset{⃗}{d}}{2} = \frac{\overset{⃗}{d}}{2} .\)

Vậy \(\overset{\rightarrow}{B F} = \overset{\rightarrow}{E D}\), nghĩa là \(B F \parallel E D\) và \(B F = E D\).

Hai cặp cạnh đối diện của tứ giác \(E B F D\) đều song song (và bằng nhau), nên \(E B F D\) là hình bình hành. \(\square\)

b) Ba điểm \(E , O , F\) thẳng hàng (và \(O\) là trung điểm của \(E F\))

Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo \(A C\) và \(B D\). Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm, nên

\(\overset{⃗}{O} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{C}}{2} = \frac{\overset{⃗}{0} + \left(\right. \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{d} \left.\right)}{2} = \frac{\overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{d}}{2} .\)

Ta đã có \(\overset{⃗}{E} = \frac{\overset{⃗}{d}}{2}\) và \(\overset{⃗}{F} = \overset{⃗}{b} + \frac{\overset{⃗}{d}}{2}\). Tính

\(\overset{\rightarrow}{E F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{E} = \left(\right. \overset{⃗}{b} + \frac{\overset{⃗}{d}}{2} \left.\right) - \frac{\overset{⃗}{d}}{2} = \overset{⃗}{b} ,\) \(\overset{\rightarrow}{E O} = \overset{⃗}{O} - \overset{⃗}{E} = \frac{\overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{d}}{2} - \frac{\overset{⃗}{d}}{2} = \frac{\overset{⃗}{b}}{2} .\)

Vì \(\overset{\rightarrow}{E O} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{E F}\), nên \(O\) nằm trên đoạn \(E F\) và đồng thời là trung điểm của \(E F\). Do đó \(E , \textrm{ } O , \textrm{ } F\) thẳng hàng. \(\square\)

Gọi tọa độ vị trí (vectơ) của \(A , B , C\) lần lượt là \(\overset{⃗}{a} , \overset{⃗}{b} , \overset{⃗}{c}\). Khi đó

\(\overset{⃗}{G} = \frac{\overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{c}}{3}\)

(vì \(G\) là trọng tâm).

Ta có:

\(\overset{⃗}{M} = \frac{\overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{c}}{2} , \overset{⃗}{N} = \frac{\overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b}}{2} ,\) \(\overset{⃗}{P} = \frac{\overset{⃗}{G} + \overset{⃗}{B}}{2} = \frac{\frac{\overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{c}}{3} + \overset{⃗}{b}}{2} = \frac{\overset{⃗}{a} + 4 \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{c}}{6} ,\) \(\overset{⃗}{Q} = \frac{\overset{⃗}{G} + \overset{⃗}{C}}{2} = \frac{\overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} + 4 \overset{⃗}{c}}{6} .\)

Tính tổng:

\(\overset{⃗}{P} + \overset{⃗}{M} = \frac{\overset{⃗}{a} + 4 \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{c}}{6} + \frac{\overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{c}}{2} = \frac{4 \overset{⃗}{a} + 4 \overset{⃗}{b} + 4 \overset{⃗}{c}}{6} = \frac{2 \left(\right. \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{c} \left.\right)}{3} ,\) \(\overset{⃗}{Q} + \overset{⃗}{N} = \frac{\overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} + 4 \overset{⃗}{c}}{6} + \frac{\overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b}}{2} = \frac{4 \overset{⃗}{a} + 4 \overset{⃗}{b} + 4 \overset{⃗}{c}}{6} = \frac{2 \left(\right. \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{c} \left.\right)}{3} .\)

Vậy \(\overset{⃗}{P} + \overset{⃗}{M} = \overset{⃗}{Q} + \overset{⃗}{N}\), tức

\(\frac{\overset{⃗}{P} + \overset{⃗}{M}}{2} = \frac{\overset{⃗}{Q} + \overset{⃗}{N}}{2} .\)

Điều này nghĩa là trung điểm của đoạn \(P M\) trùng với trung điểm của đoạn \(Q N\) — tức hai đường chéo \(P N\) và \(Q M\) của tứ giác \(P Q M N\) cắt nhau tại trung điểm chung, nên chúng chia đôi lẫn nhau. Khi hai đường chéo của một tứ giác chia đôi nhau thì tứ giác đó là hình bình hành.

Do đó \(P Q M N\) là hình bình hành. \(\square\)

(Nhận xét: có thể chứng minh tương tự bằng định lí đường trung bình: \(P Q\) là đoạn nối trung điểm trong tam giác \(B G C\) nên \(P Q \parallel B C\) và \(M N\) là đoạn nối trung điểm trong tam giác \(A B C\) nên \(M N \parallel B C\) — từ đó suy ra \(P Q \parallel M N\); tương tự suy ra cặp cạnh kia song song, hoặc dùng tính chất trung điểm các đường chéo như trên.)

a) \(A E F D\) và \(A B F C\) là hình bình hành

Xét tứ giác \(A E F D\) (các đỉnh theo thứ tự \(A \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ E \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ F \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ D\)):

• \(\overset{\rightarrow}{A E} = \overset{⃗}{E} - \overset{⃗}{A} = 2 \overset{⃗}{b} .\)
• \(\overset{\rightarrow}{D F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{D} = \left(\right. 2 \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{d} \left.\right) - \overset{⃗}{d} = 2 \overset{⃗}{b} .\)
  Vậy \(\overset{\rightarrow}{A E} = \overset{\rightarrow}{D F}\) nên \(A E \parallel D F\) và bằng nhau về độ dài.
• \(\overset{\rightarrow}{E F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{E} = \left(\right. 2 \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{d} \left.\right) - 2 \overset{⃗}{b} = \overset{⃗}{d} .\)
• \(\overset{\rightarrow}{A D} = \overset{⃗}{d} .\)
  Vậy \(\overset{\rightarrow}{E F} = \overset{\rightarrow}{A D}\) nên \(E F \parallel A D\) và bằng nhau về độ dài.

Do hai cặp cạnh đối diện của \(A E F D\) lần lượt song song và bằng nhau, nên \(A E F D\) là hình bình hành.

Xét tứ giác \(A B F C\) (các đỉnh theo thứ tự \(A \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ B \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ F \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ C\)):

• \(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{⃗}{b} .\)
• \(\overset{\rightarrow}{F C} = \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{F} = \left(\right. \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{d} \left.\right) - \left(\right. 2 \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{d} \left.\right) = - \overset{⃗}{b} .\)
  Vậy \(\overset{\rightarrow}{A B} = \textrm{ }⁣ - \overset{\rightarrow}{F C}\) nên \(A B \parallel F C\) và có cùng độ dài.
• \(\overset{\rightarrow}{B F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{B} = \left(\right. 2 \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{d} \left.\right) - \overset{⃗}{b} = \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{d} .\)
• \(\overset{\rightarrow}{A C} = \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{A} = \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{d} .\)
  Vậy \(\overset{\rightarrow}{B F} = \overset{\rightarrow}{A C}\) nên \(B F \parallel A C\) và bằng nhau về độ dài.

Như vậy hai cặp cạnh đối diện của \(A B F C\) song song và bằng nhau, nên \(A B F C\) là hình bình hành.

b) Ba trung điểm của \(A F , \&\text{nbsp}; D E , \&\text{nbsp}; B C\) trùng nhau

Tính toạ độ (vectơ) trung điểm từng đoạn:

• Trung điểm của \(A F\):

\(\frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{F}}{2} = \frac{\overset{⃗}{0} + \left(\right. 2 \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{d} \left.\right)}{2} = \overset{⃗}{b} + \frac{\overset{⃗}{d}}{2} .\)

• Trung điểm của \(D E\):

\(\frac{\overset{⃗}{D} + \overset{⃗}{E}}{2} = \frac{\overset{⃗}{d} + 2 \overset{⃗}{b}}{2} = \overset{⃗}{b} + \frac{\overset{⃗}{d}}{2} .\)

• Trung điểm của \(B C\):

\(\frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{2} = \frac{\overset{⃗}{b} + \left(\right. \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{d} \left.\right)}{2} = \frac{2 \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{d}}{2} = \overset{⃗}{b} + \frac{\overset{⃗}{d}}{2} .\)

Cả ba trung điểm đều có cùng vectơ tọa độ \(\overset{⃗}{b} + \frac{\overset{⃗}{d}}{2}\). Do đó ba trung điểm của \(A F , \&\text{nbsp}; D E , B C\) trùng nhau.

(Quan sát hình học: điểm chung này chính là trung điểm của \(A C\) dịch sang theo \(\frac{1}{2}\) hướng \(A B\); cũng có thể suy ra bằng tính chất trung điểm trong tam giác.)

1. Chứng minh \(\left[\right. \triangle O A M \left]\right. = \left[\right. \triangle O C N \left]\right.\)

Đặt hệ trục cho đơn giản (phương pháp tọa độ):

• Vì \(A B \parallel C D\), ta có thể đặt \(A B\) là trục \(x\) (tức \(y = 0\)) và \(C D\) là đường thẳng song song cách đó một khoảng \(h\) (tức \(y = h\)).
• Lấy \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } B \left(\right. b , 0 \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } D \left(\right. 0 , h \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } C \left(\right. b , h \left.\right)\). Khi đó hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) giao nhau tại điểm trung điểm \(O\) của chúng:
  \(O \left(\right. \frac{b}{2} , \frac{h}{2} \left.\right) .\)

Gọi đường thẳng qua \(O\) có hệ số góc \(k\). Phương trình đường thẳng là

\(y - \frac{h}{2} = k \left(\right. x - \frac{b}{2} \left.\right) .\)

• Giao với \(A B\) (ở \(y = 0\)) cho \(M\). Thay \(y = 0\):
  \(- \frac{h}{2} = k \left(\right. x_{M} - \frac{b}{2} \left.\right) \&\text{nbsp}; \Rightarrow \&\text{nbsp}; x_{M} = \frac{b}{2} - \frac{h}{2 k} .\)
  Vậy \(M \left(\right. \frac{b}{2} - \frac{h}{2 k} , \textrm{ }\textrm{ } 0 \left.\right)\).
• Giao với \(C D\) (ở \(y = h\)) cho \(N\). Thay \(y = h\):
  \(\frac{h}{2} = k \left(\right. x_{N} - \frac{b}{2} \left.\right) \&\text{nbsp}; \Rightarrow \&\text{nbsp}; x_{N} = \frac{b}{2} + \frac{h}{2 k} .\)
  Vậy \(N \left(\right. \frac{b}{2} + \frac{h}{2 k} , \textrm{ }\textrm{ } h \left.\right)\).

Bây giờ tính diện tích tam giác bằng công thức ma trận / tích ngoài:

\(\left[\right. \triangle O A M \left]\right. = \frac{1}{2} \mid \left(\right. \overset{\rightarrow}{O A} \times \overset{\rightarrow}{O M} \left.\right) \mid\)

với \(\overset{\rightarrow}{O A} = \left(\right. - \frac{b}{2} , - \frac{h}{2} \left.\right)\) và \(\overset{\rightarrow}{O M} = \left(\right. x_{M} - \frac{b}{2} , - \frac{h}{2} \left.\right) = \left(\right. - \frac{h}{2 k} , - \frac{h}{2} \left.\right)\).Tích ngoài (de

\(\left[\right. \triangle O A M \left]\right. = \frac{1}{2} \mid \frac{b h}{4} - \frac{h^{2}}{4 k} \mid .\)

Tương tự với \(\triangle O C N\):
\(\overset{\rightarrow}{O C} = \left(\right. \frac{b}{2} , \frac{h}{2} \left.\right)\), \(\overset{\rightarrow}{O N} = \left(\right. \frac{h}{2 k} , \frac{h}{2} \left.\right)\), và

\(\overset{\rightarrow}{O C} \times \overset{\rightarrow}{O N} = \mid \frac{b}{2} & \frac{h}{2} \\ \frac{h}{2 k} & \frac{h}{2} \mid = \frac{b h}{4} - \frac{h^{2}}{4 k} .\)

Vậy

\(\left[\right. \triangle O C N \left]\right. = \frac{1}{2} \mid \frac{b h}{4} - \frac{h^{2}}{4 k} \mid .\)

Kết luận:

\(\left[\right. \triangle O A M \left]\right. = \left[\right. \triangle O C N \left]\right. .\)

(Ý chính: do \(O\) là trung điểm của đoạn \(A C\), toạ độ đối xứng khiến biểu thức diện tích giống nhau.)

2. Suy ra \(M B N D\) là hình bình hành

Ta dùng tọa độ đã có để kiểm tra hai cặp cạnh đối diện bằng và song song.

Tọa độ đã cho:

\(M \left(\right. \frac{b}{2} - \frac{h}{2 k} , 0 \left.\right) , B \left(\right. b , 0 \left.\right) , N \left(\right. \frac{b}{2} + \frac{h}{2 k} , h \left.\right) , D \left(\right. 0 , h \left.\right) .\)

Tính các vectơ cạnh:

• \(\overset{\rightarrow}{M B} = \overset{\rightarrow}{B} - \overset{\rightarrow}{M} = \left(\right. b - \left(\right. \frac{b}{2} - \frac{h}{2 k} \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } 0 \left.\right) = \left(\right. \frac{b}{2} + \frac{h}{2 k} , \textrm{ }\textrm{ } 0 \left.\right) .\)
• \(\overset{\rightarrow}{D N} = \overset{\rightarrow}{N} - \overset{\rightarrow}{D} = \left(\right. \frac{b}{2} + \frac{h}{2 k} , \textrm{ }\textrm{ } 0 \left.\right) .\)

Vậy \(\overset{\rightarrow}{M B} = \overset{\rightarrow}{D N}\) — tức đoạn \(M B\) song song và bằng đoạn \(D N\).

Tiếp:

• \(\overset{\rightarrow}{B N} = \overset{\rightarrow}{N} - \overset{\rightarrow}{B} = \left(\right. \frac{b}{2} + \frac{h}{2 k} - b , \textrm{ }\textrm{ } h \left.\right) = \left(\right. - \frac{b}{2} + \frac{h}{2 k} , \textrm{ }\textrm{ } h \left.\right) .\)
• \(\overset{\rightarrow}{M D} = \overset{\rightarrow}{D} - \overset{\rightarrow}{M} = \left(\right. 0 - \left(\right. \frac{b}{2} - \frac{h}{2 k} \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } h - 0 \left.\right) = \left(\right. - \frac{b}{2} + \frac{h}{2 k} , \textrm{ }\textrm{ } h \left.\right) .\)

Do đó \(\overset{\rightarrow}{B N} = \overset{\rightarrow}{M D}\) — tức \(B N\) song song và bằng \(M D\).

chứngng minh AEFD và AECF là hình bình hành

• Xét tứ giác \(A E F D\) (các cạnh theo thứ tự \(A E , E F , F D , D A\)).
  \(\overset{⃗}{A E} = \overset{⃗}{E} - \overset{⃗}{A} = \frac{\overset{⃗}{b}}{2} .\)
  \(\overset{⃗}{F D} = \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{F} = \overset{⃗}{d} - \left(\right. \frac{\overset{⃗}{b}}{2} + \overset{⃗}{d} \left.\right) = - \frac{\overset{⃗}{b}}{2} .\)
  Vậy \(\overset{⃗}{A E}\) song song và bằng in modulus với \(\overset{⃗}{D F}\) (chỉ khác hướng), nên \(A E \parallel D F\).
  \(\overset{⃗}{E F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{E} = \left(\right. \frac{\overset{⃗}{b}}{2} + \overset{⃗}{d} \left.\right) - \frac{\overset{⃗}{b}}{2} = \overset{⃗}{d} = \overset{⃗}{A D} .\)
  Do đó \(E F \parallel A D\). Vì hai cặp cạnh đối diện của \(A E F D\) đôi một song song, nên \(A E F D\) là hình bình hành.
• Xét tứ giác \(A E C F\) (các cạnh theo thứ tự \(A E , E C , C F , F A\)).
  \(\overset{⃗}{A E} = \frac{\overset{⃗}{b}}{2} .\)
  \(\overset{⃗}{C F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{C} = \left(\right. \frac{\overset{⃗}{b}}{2} + \overset{⃗}{d} \left.\right) - \left(\right. \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{d} \left.\right) = - \frac{\overset{⃗}{b}}{2} .\)
  Do đó \(A E \parallel C F\).
  \(\overset{⃗}{A F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{A} = \frac{\overset{⃗}{b}}{2} + \overset{⃗}{d} .\)
  \(\overset{⃗}{E C} = \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{E} = \left(\right. \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{d} \left.\right) - \frac{\overset{⃗}{b}}{2} = \frac{\overset{⃗}{b}}{2} + \overset{⃗}{d} .\)
  Vậy \(\overset{⃗}{A F} = \overset{⃗}{E C}\), nên \(A F \parallel E C\). Vì hai cặp cạnh đối diện song song, \(A E C F\) là hình bình hành.

b) Chứng minh \(E F = A D , \&\text{nbsp}; A F = E C\).

• Từ trên \(\overset{⃗}{E F} = \overset{⃗}{d} = \overset{⃗}{A D}\). Do đó \(E F = A D\) và \(E F \parallel A D\).
• Từ trên \(\overset{⃗}{A F} = \frac{\overset{⃗}{b}}{2} + \overset{⃗}{d}\) và \(\overset{⃗}{E C} = \frac{\overset{⃗}{b}}{2} + \overset{⃗}{d}\), nên \(\overset{⃗}{A F} = \overset{⃗}{E C}\). Do đó \(A F = E C\) và \(A F \parallel E C\).

Ngày kỉ niệm thành lập trường, lớp chúng tôi đã tổ chức một chuyến đi thăm quan về các di tích lịch sử. Chuyến đi không chỉ đơn thuần là một chuyến dã ngoại mà còn mang nhiều ý nghĩa sâu sắc, giúp chúng tôi hiểu rõ hơn về lịch sử dân tộc và quý trọng hơn những giá trị văn hóa.

Chúng tôi bắt đầu hành trình vào sáng sớm, tập trung tại cổng trường với sự hào hứng, ai nấy đều háo hức chờ đợi. Sau khi nhận đủ số học sinh, thầy cô đã hướng dẫn và xe xuất phát. Trên đường đi, thầy giáo đã chia sẻ với chúng tôi những thông tin thú vị về các di tích mà chúng tôi sẽ thăm.

Điểm đến đầu tiên là di tích lịch sử Nhà tù Hỏa Lò. Khi vừa bước vào, không khí nơi đây thật nghiêm trang. Những bức ảnh, hiện vật được trưng bày đã giúp chúng tôi hình dung được cuộc sống khắc nghiệt của các chiến sĩ cách mạng trong thời kỳ kháng chiến. Mỗi câu chuyện được kể đều làm chúng tôi cảm động và nể phục những người đã hy sinh vì hòa bình, độc lập cho tổ quốc.

Tiếp theo, chúng tôi đến tham quan Văn Miếu - Quốc Tử Giám, nơi thờ Khổng Tử và cũng là trường học đầu tiên của Việt Nam. Tại đây, tôi thực sự ấn tượng trước vẻ đẹp của kiến trúc cổ xưa. Những khung cửa gỗ, mái ngói âm dương cùng những bức tường xám trầm mặc như kể lại câu chuyện về nền giáo dục xưa kia của nước ta. Chúng tôi còn được tìm hiểu về những truyền thống hiếu học của dân tộc và cảm nhận giá trị to lớn của tri thức.

Buổi chiều, chúng tôi dừng chân ở Hoàn Kiếm, nơi có Hồ Gươm thơ mộng. Tiết trời trong lành, ánh nắng dịu nhẹ khiến không gian càng thêm đẹp. Chúng tôi cùng nhau chụp hình lưu niệm bên cầu Thê Húc, ngắm nhìn rùa vàng và nghe thầy giáo kể về truyền thuyết Rùa Vàng. Những câu chuyện lịch sử gợi nhớ trong lòng mỗi người về nguồn cội dân tộc.

Chuyến đi khép lại bằng một buổi giao lưu văn nghệ nhỏ giữa các lớp. Chúng tôi hát ca, cùng nhau chia sẻ những cảm nhận về những gì đã thấy, đã học trên đường đi. Mỗi người đều có những kỷ niệm riêng nhưng tất cả đều thống nhất một điều: chúng tôi đã có một chuyến đi đầy ý nghĩa.

Chuyến tham quan đã giúp tôi mở mang kiến thức, thêm yêu quê hương đất nước. Nó thực sự không chỉ là một chuyến đi chơi, mà là hành trình trở về với cội nguồn lịch sử, văn hóa của dân tộc.

Câu 1:Bài thơ "Cảnh ngày hè" được viết theo thể thơ thất ngôn bát cú Đường luật.

Câu 2:  Những hình ảnh thiên nhiên được nhắc đến trong bốn dòng thơ đầu là: cây hoè, tán cây xanh rợp, hoa thạch lựu, ao sen (hồng liên).

Câu 3:

Lao xao chợ cá làng ngư phủ,
Dắng dỏi cầm ve lầu tịch dương.

Biện pháp đảo ngữ được sử dụng ở cả hai câu thơ trên bằng cách đảo vị trí của các thành phần trong câu (đảo tính từ lên trước danh từ).

Nhấn mạnh âm thanh: Làm nổi bật âm thanh "lao xao" của chợ cá và "dắng dỏi" của tiếng ve, tạo nên bức tranh ngày hè sống động, náo nhiệt.

Gợi không gian: Gợi ra không gian làng chài và lầu cao, làm cho cảnh vật trở nên cụ thể, sinh động hơn.

Tăng tính biểu cảm: Thể hiện sự cảm nhận tinh tế của tác giả về vẻ đẹp của cuộc sống.

Câu 4:

Trong hai dòng thơ cuối, tác giả đã bộc lộ ước mơ về một cuộc sống thái bình, hạnh phúc cho nhân dân. Cụ thể:

Ước mơ về một xã hội thịnh trị, nơi dân giàu đủ khắp mọi nơi, giống như thời vua Ngu Thuấn.

Thể hiện tấm lòng yêu nước, thương dân sâu sắc của Nguyễn Trãi.

Câu 5:

Chủ đề của bài thơ là ca ngợi vẻ đẹp của thiên nhiên ngày hè, đồng thời thể hiện tình yêu thiên nhiên, yêu đời và khát vọng về một cuộc sống thái bình, hạnh phúc cho nhân dân của Nguyễn Trãi.

Căn cứ:

Bài thơ miêu tả bức tranh thiên nhiên ngày hè tươi đẹp, tràn đầy sức sống với những hình ảnh như cây hoè xanh mát, hoa thạch lựu đỏ rực, ao sen ngát hương, chợ cá lao xao, tiếng ve dắng dỏi.

Hai câu thơ cuối thể hiện ước mơ về một xã hội lý tưởng, nơi dân giàu nước mạnh, mọi người đều hạnh phúc.

Câu 6:

Từ bài thơ "Cảnh ngày hè" của Nguyễn Trãi, em học được cách trân trọng và tận hưởng những điều bình dị trong cuộc sống. Niềm vui không phải lúc nào cũng đến từ những điều lớn lao, mà có thể được tìm thấy ngay trong những khoảnh khắc gần gũi với thiên nhiên như ngắm nhìn một đóa hoa, lắng nghe tiếng chim hót hay cảm nhận làn gió mát. Em sẽ học cách mở lòng mình để đón nhận những điều tốt đẹp xung quanh, giữ cho tâm hồn luôn tươi trẻ và lạc quan, từ đó thêm yêu cuộc sống và có thêm động lực để vượt qua những khó khăn.

Bài 4

Ông A và ông B đứng cách nhau 55 mét. Bộ phát wifi có bán kính 35 mét, đặt cách ông A 20 mét.

Đặt bộ phát wifi tại điểm cách ông A 20m ⇒ Từ bộ phát:

• Cách ông A: 20 m

• Cách ông B: 55 - 20 = 35 m

Vì bán kính hoạt động là 35 m, cả ông A và ông B đều nằm trong vùng phủ sóng.

✅ Điện thoại ông B vẫn bắt được sóng wifi.

Bài 3

Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Gọi M là trung điểm của BD. E là giao điểm của tia phân giác góc B với tia AM.

⸻

a) Chứng minh AM là tia phân giác góc A của tam giác ABC:

Ta có:

• AD = AB (giả thiết)

• M là trung điểm của BD ⇒ BM = MD

• Xét tam giác ABD, có:

• AB = AD

• BM = MD

• Chung cạnh AM

⇒ Tam giác ABM bằng tam giác ADM (c.g.c)

⇒ \widehat{BAM} = \widehat{CAM}

⇒ AM là tia phân giác của góc A trong tam giác ABC.

⸻

b) Cho góc C = 30^\circ. Tính \widehat{ACE}:

Từ câu a, ta có AM là phân giác của góc A, và E là giao điểm của tia phân giác góc B và tia AM ⇒ E nằm trên đoạn AC.

Khi đó:

• Vì \angle C = 30^\circ, nên trong tam giác ABC, góc còn lại chia cho tia phân giác tại A và B.

• Tuy nhiên đề bài chưa đủ dữ kiện cụ thể về tam giác để tính chính xác góc \angle ACE.

➡ Cần thêm thông tin về các góc hoặc độ dài các cạnh.

⸻

Bài 4

Ông A và ông B đứng cách nhau 55 mét. Bộ phát wifi có bán kính 35 mét, đặt cách ông A 20 mét.

Đặt bộ phát wifi tại điểm cách ông A 20m ⇒ Từ bộ phát:

• Cách ông A: 20 m

• Cách ông B: 55 - 20 = 35 m

Vì bán kính hoạt động là 35 m, cả ông A và ông B đều nằm trong vùng phủ sóng.

✅ Điện thoại ông B vẫn bắt được sóng wifi.