a) Chứng minh AHCK là hình bình hành

Nhận xét:

• AH ⟂ BD
• CK ⟂ BD
  → AH ∥ CK (cùng vuông góc với BD)

Tương tự:

• CH ⟂ BD
• AK ⟂ BD
  → HC ∥ AK

Tứ giác AHCK có:

• AH ∥ CK
• HC ∥ AK

→ AHCK là hình bình hành.

b)Trong hình bình hành AHCK:

• O là trung điểm HK
• A và C là hai đỉnh còn lại

→ O là trung điểm đường chéo → AO = OC.

Sau đó dùng thêm quan hệ trong hình bình hành ABCD:

• Đường chéo BD đi qua trung điểm của các đoạn song song AH và CK
• I nằm trên BD và là điểm đối xứng B, D qua trung điểm.

→ IB = ID.

a) Chứng minh EBFD là hình bình hành

• E là trung điểm AD ⇒ AE = ED
• F là trung điểm BC ⇒ BF = FC
• Vì ABCD là hình bình hành ⇒ AD ∥ BC và AB ∥ DC

Suy ra:

• Trong tam giác ABD, E là trung điểm AD và F là trung điểm BC ⇒ EF ∥ AB
• Trong tam giác DCB, E là trung điểm AD và F là trung điểm BC ⇒ EF ∥ DC

→ EF song song cả AB và DC.

Ngoài ra AD ∥ BC.

→ Tứ giác EBFD có 2 cặp cạnh đối song song → Là hình bình hành.

b) Chứng minh E, O, F thẳng hàng

• O là giao điểm hai đường chéo.
• Trong hình bình hành: hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

⇒ O là trung điểm AC và BD.

Xét tam giác ADC:

• E là trung điểm AD
• O là trung điểm AC

→ Đường nối EO ∥ DC.

Xét tam giác ABC:

• F là trung điểm BC
• O là trung điểm AC

→ FO ∥ AB.

Nhưng trong hình bình hành:

• AB ∥ DC

Vậy EO ∥ FO.

Hai đoạn thẳng bắt đầu từ E và F đều song song AB/DC và đều qua O.

→ E, O, F thẳng hàng.

Tứ giác PQMN có hai cặp cạnh đối song song => Là hình bình hành

a) Chứng minh AEFD và ABFC là hình bình hành

1) AEFD:

• B là trung điểm AE → AB = BE.
• C là trung điểm DF → DC = CF.

Trong hình bình hành ABCD: AB ∥ DC.

→ AE ∥ DF (do cùng lấy đối xứng qua trung điểm).

Cũng có: AD ∥ EF.

→ 2 cặp cạnh đối song song → AEFD là hình bình hành.

2) ABFC:

• C là trung điểm DF
• B là trung điểm AE
• AB ∥ FC, BC ∥ AF

→ ABFC là hình bình hành.

b) Trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau

Gọi K là trung điểm BC.

Ta chứng minh K cũng là trung điểm của AF và DE:

• Vì ABFC là hình bình hành → Đường chéo cắt nhau tại trung điểm
  → K là trung điểm của AF.
• Vì AEFD là hình bình hành → Đường chéo cắt nhau tại trung điểm
  → K là trung điểm của DE.

→ Ba trung điểm trùng nhau.

a) Chứng minh AEFD và ABFC là hình bình hành

1) AEFD:

• B là trung điểm AE → AB = BE.
• C là trung điểm DF → DC = CF.

Trong hình bình hành ABCD: AB ∥ DC.

→ AE ∥ DF (do cùng lấy đối xứng qua trung điểm).

Cũng có: AD ∥ EF.

→ 2 cặp cạnh đối song song → AEFD là hình bình hành.

2) ABFC:

• C là trung điểm DF
• B là trung điểm AE
• AB ∥ FC, BC ∥ AF

→ ABFC là hình bình hành.

b) Trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau

Gọi K là trung điểm BC.

Ta chứng minh K cũng là trung điểm của AF và DE:

• Vì ABFC là hình bình hành → Đường chéo cắt nhau tại trung điểm
  → K là trung điểm của AF.
• Vì AEFD là hình bình hành → Đường chéo cắt nhau tại trung điểm
  → K là trung điểm của DE.

→ Ba trung điểm trùng nhau.

Trong hình bình hành:

• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm → O là trung điểm AC và BD.
  ⇒ OA = OC.    (1)
• Vì M nằm trên AB và N nằm trên CD, và AB ∥ CD:
  ⇒ Các tam giác OAM và OCN có

• ∠OAM = ∠OCN (so le trong, do AM ∥ CN) (2)
• ∠OMA = ∠ONC (so le trong) (3)

Từ (1)(2)(3) ⇒ ΔOAM = ΔOCN (góc – cạnh – góc).

Suy ra MBND là hình bình hành

Do hai tam giác trên bằng nhau:

• OM = ON
• AM ∥ CN và MN ∥ AC

Hai cặp cạnh đối song song → MBND là hình bình hành.

Trong hình bình hành:

• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm → O là trung điểm AC và BD.
  ⇒ OA = OC.    (1)
• Vì M nằm trên AB và N nằm trên CD, và AB ∥ CD:
  ⇒ Các tam giác OAM và OCN có

• ∠OAM = ∠OCN (so le trong, do AM ∥ CN) (2)
• ∠OMA = ∠ONC (so le trong) (3)

Từ (1)(2)(3) ⇒ ΔOAM = ΔOCN (góc – cạnh – góc).

Suy ra MBND là hình bình hành

Do hai tam giác trên bằng nhau:

• OM = ON
• AM ∥ CN và MN ∥ AC

Hai cặp cạnh đối song song → MBND là hình bình hành.

Trong hình bình hành:

• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm → O là trung điểm AC và BD.
  ⇒ OA = OC.    (1)
• Vì M nằm trên AB và N nằm trên CD, và AB ∥ CD:
  ⇒ Các tam giác OAM và OCN có

• ∠OAM = ∠OCN (so le trong, do AM ∥ CN) (2)
• ∠OMA = ∠ONC (so le trong) (3)

Từ (1)(2)(3) ⇒ ΔOAM = ΔOCN (góc – cạnh – góc).

Suy ra MBND là hình bình hành

Do hai tam giác trên bằng nhau:

• OM = ON
• AM ∥ CN và MN ∥ AC

Hai cặp cạnh đối song song → MBND là hình bình hành.

Trong hình bình hành:

• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm → O là trung điểm AC và BD.
  ⇒ OA = OC.    (1)
• Vì M nằm trên AB và N nằm trên CD, và AB ∥ CD:
  ⇒ Các tam giác OAM và OCN có

• ∠OAM = ∠OCN (so le trong, do AM ∥ CN) (2)
• ∠OMA = ∠ONC (so le trong) (3)

Từ (1)(2)(3) ⇒ ΔOAM = ΔOCN (góc – cạnh – góc).

Suy ra MBND là hình bình hành

Do hai tam giác trên bằng nhau:

• OM = ON
• AM ∥ CN và MN ∥ AC

Hai cặp cạnh đối song song → MBND là hình bình hành.

Trong hình bình hành:

• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm → O là trung điểm AC và BD.
  ⇒ OA = OC.    (1)
• Vì M nằm trên AB và N nằm trên CD, và AB ∥ CD:
  ⇒ Các tam giác OAM và OCN có

• ∠OAM = ∠OCN (so le trong, do AM ∥ CN) (2)
• ∠OMA = ∠ONC (so le trong) (3)

Từ (1)(2)(3) ⇒ ΔOAM = ΔOCN (góc – cạnh – góc).

Suy ra MBND là hình bình hành

Do hai tam giác trên bằng nhau:

• OM = ON
• AM ∥ CN và MN ∥ AC

Hai cặp cạnh đối song song → MBND là hình bình hành.