a) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

a) Do \(A B C D\) là hình bình hành nên \(A D\) // \(B C\) và \(A D = B C\).

Do \(A D\) // \(B C\) nên \(\hat{A D B} \&\text{nbsp}; = \hat{C B D}\) (so le trong)

Xét \(\Delta A D H\) và \(\Delta C B K\) có:

     \(\hat{A H D} \&\text{nbsp}; = \hat{C K B} = 9 0^{\circ}\);

     \(A D = B C\) (chứng minh trên);

     \(\hat{A D H} \&\text{nbsp}; = \hat{C B K}\) (do \(\hat{A D B} \&\text{nbsp}; = \hat{C B D}\)).

Do đó \(\Delta \&\text{nbsp}; A D H = \Delta \&\text{nbsp}; C B K\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(A H = C K\) (hai cạnh tương ứng).

Ta có \(A H \bot \&\text{nbsp}; D B\) và \(C K \bot \&\text{nbsp}; D B\) nên \(A H\) // \(C K\).

Tứ giác \(A H C K\) có \(A H\) // \(C K\) và \(A H = C K\) nên \(A H C K\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Do \(A H C K\) là hình bình hành (câu a) nên hai đường chéo \(A C\) và \(H K\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà \(I\) là trung điểm của \(H K\) (giả thiết) nên \(I\) là trung điểm của \(A C\).

Do \(A B C D\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà \(I\) là trung điểm của \(A C\) nên \(I\) là trung điểm của \(B D\), hay \(I B = I D\).

Xét tam giác \(A B C\) có hai đường trung tuyến \(B M\) và \(C N\) cắt nhau tại \(G\) (giả thiết) nên \(G\) là trọng tâm của \(\Delta A B C\).

Suy ra \(G M = \frac{G B}{2}\); \(G N = \frac{G C}{2}\) (tính chất trọng tâm của tam giác) (1)

Mà \(P\) là trung điểm của \(G B\) (giả thiết) nên \(G P = P B = \frac{G B}{2}\) (2)

\(Q\) là trung điểm của \(G C\) (giả thiết) nên \(G Q = Q C = \frac{G C}{2}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(G M = G P\) và \(G N = G Q\).

Xét tứ giác \(P Q M N\) có: \(G M = G P\) và \(G N = G Q\) (chứng minh trên)

Do đó tứ giác \(P Q M N\) có hai đường chéo \(M P\) và \(N Q\) cắt nhau tại trung điểm \(G\) của mỗi đường nên là hình bình hành.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O.

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

Mà O là trung điểm của AF.

Suy ra O cũng là trung điểm của BC.

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên ta có:

+ Hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại \(O\) nên \(O A = O C\), \(O B = O D\).

+ \(A B\) // \(C D\) nên \(A M\) // \(C N\) suy ra \(\hat{O A M} = \hat{O C N}\) (hai góc so le trong).

Xét \(\Delta O A M\) và \(\Delta \&\text{nbsp}; O C N\) có:

        $\widehat{O A M} = \widehat{O C N} (chứng minh trên)

        \(O A = O C\) (chứng minh trên)

        \(\hat{A O M} \&\text{nbsp}; =\)\widehat{C O N} (hai góc đối đỉnh)

Do đó \(\Delta \&\text{nbsp}; O A M = \Delta \&\text{nbsp}; O C N\) (g.c.g).

Suy ra \(A M = C N\) (hai cạnh tương ứng).

Mặt khác, \(A B = C D\) (chứng minh trên);

\(A B = A M + B M\); \(C D = C N + D N\).

Suy ra \(B M = D N\).

Xét tứ giác \(M B N D\) có:

        \(B M\) // \(D N\) (vì \(A B\) // \(C D\))

        \(B M = D N\) (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác \(M B N D\) là hình bình hành.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD.

Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE = BE = \(\frac{1}{2}\)AB, CF = DF = \(\frac{1}{2}\)CD

Do đó AE = BE = CF = DF.

Xét tứ giác AEFD có:

     AE // DF (vì AB // CD);

     AE = DF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Xét tứ giác AECF có:

     AE // CF (vì AB // CD);

     AE = CF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AECF là hình bình hành.

Vậy hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành.

b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD.

Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC.

Vậy EF = AD, AF = EC.

Nhân dịp kỉ niệm ngày thành lập trường, lớp em đã có một chuyến tham quan về nguồn thật đặc biệt – đến với Khu di tích lịch sử sông Bạch Đằng ở Quảng Yên, Quảng Ninh. Đây là nơi ghi dấu bao chiến công oanh liệt của cha ông ta trong những trận thủy chiến lừng lẫy, đánh tan quân xâm lược phương Bắc.

Từ sáng sớm, sân trường em đã rộn ràng tiếng cười nói. Ai nấy đều mặc đồng phục gọn gàng, đeo khăn quàng đỏ thắm và mang theo chiếc mũ du lịch nhỏ. Khi chiếc xe chở đoàn bắt đầu lăn bánh, cả lớp hò reo vui sướng. Qua khung cửa sổ, con đường làng trải dài, những cánh đồng lúa xanh mướt lùi dần phía sau, nhường chỗ cho những con đê, con sông uốn lượn. Cô giáo chủ nhiệm kể cho chúng em nghe về những chiến công của Ngô Quyền, Trần Hưng Đạo trên dòng sông lịch sử ấy. Em ngồi lặng nghe, lòng đầy háo hức và tự hào.

Khi xe đến nơi, trước mắt chúng em là một không gian bát ngát, mênh mông. Con sông Bạch Đằng uốn mình dưới nắng, dòng nước lấp lánh như ánh bạc. Gió sông thổi mát rượi mang theo hơi thở mặn mòi của vùng biển Đông. Bước qua cổng khu di tích, em nhìn thấy tượng đài uy nghiêm của Đức Vương Ngô Quyền cưỡi ngựa, tay cầm giáo chỉ về phía sông, ánh mắt kiên nghị và hào hùng. Em cảm thấy như đang đứng trước một trang sử sống, nơi từng chứng kiến những cọc gỗ lim nhọn hoắt cắm sâu dưới lòng sông, nơi quân dân ta đã dùng trí dũng phi thường đánh tan hàng vạn quân xâm lược.

Chúng em theo chân hướng dẫn viên đi tham quan Bảo tàng Bạch Đằng. Bên trong, rất nhiều hiện vật cổ được trưng bày: những mảnh gỗ cọc thật được vớt lên từ lòng sông, những mô hình trận thủy chiến, hình ảnh tái hiện cảnh quân dân ta giăng bẫy dưới lòng nước. Em chăm chú lắng nghe từng lời thuyết minh, tưởng tượng ra cảnh khói lửa ngút trời, tiếng trống trận vang dội, tiếng hô xung phong rền vang cả khúc sông. Trong giây phút ấy, em thấy lòng mình rạo rực một niềm tự hào khôn tả.

Sau khi tham quan, chúng em được ngồi nghỉ dưới rặng phi lao ven sông. Gió thổi vi vu, những cánh diều bay cao trên nền trời xanh thẳm. Cô giáo bảo chúng em hãy ghi lại cảm nghĩ về chuyến đi. Em viết: “Em thấy mình thật may mắn khi được sinh ra trên mảnh đất có lịch sử oai hùng. Dòng sông Bạch Đằng không chỉ là cảnh đẹp, mà còn là chứng nhân cho lòng yêu nước, cho trí tuệ và bản lĩnh Việt Nam.”

Buổi chiều, trước khi lên xe trở về, cả lớp cùng nhau chụp ảnh lưu niệm trước tượng đài Ngô Quyền. Ai cũng nở nụ cười rạng rỡ nhưng trong ánh mắt đều lấp lánh niềm tự hào và xúc động. Trên đường về, em vẫn còn vương vấn mãi hình ảnh con sông hiền hòa mà oai linh ấy.

Chuyến đi Bạch Đằng hôm ấy không chỉ là một buổi tham quan, mà còn là một bài học quý giá. Em hiểu thêm về truyền thống yêu nước, về tinh thần bất khuất của dân tộc. Em thầm hứa sẽ cố gắng học thật giỏi, sống xứng đáng với công lao của cha ông. Dù thời gian có trôi đi, nhưng trong em, con sông Bạch Đằng vẫn sẽ mãi là biểu tượng của niềm tự hào dân tộc, là ký ức đẹp nhất của tuổi học trò.

Nhân dịp kỉ niệm ngày thành lập trường, lớp em đã có một chuyến tham quan về nguồn thật đặc biệt – đến với Khu di tích lịch sử sông Bạch Đằng ở Quảng Yên, Quảng Ninh. Đây là nơi ghi dấu bao chiến công oanh liệt của cha ông ta trong những trận thủy chiến lừng lẫy, đánh tan quân xâm lược phương Bắc.

Từ sáng sớm, sân trường em đã rộn ràng tiếng cười nói. Ai nấy đều mặc đồng phục gọn gàng, đeo khăn quàng đỏ thắm và mang theo chiếc mũ du lịch nhỏ. Khi chiếc xe chở đoàn bắt đầu lăn bánh, cả lớp hò reo vui sướng. Qua khung cửa sổ, con đường làng trải dài, những cánh đồng lúa xanh mướt lùi dần phía sau, nhường chỗ cho những con đê, con sông uốn lượn. Cô giáo chủ nhiệm kể cho chúng em nghe về những chiến công của Ngô Quyền, Trần Hưng Đạo trên dòng sông lịch sử ấy. Em ngồi lặng nghe, lòng đầy háo hức và tự hào.

Khi xe đến nơi, trước mắt chúng em là một không gian bát ngát, mênh mông. Con sông Bạch Đằng uốn mình dưới nắng, dòng nước lấp lánh như ánh bạc. Gió sông thổi mát rượi mang theo hơi thở mặn mòi của vùng biển Đông. Bước qua cổng khu di tích, em nhìn thấy tượng đài uy nghiêm của Đức Vương Ngô Quyền cưỡi ngựa, tay cầm giáo chỉ về phía sông, ánh mắt kiên nghị và hào hùng. Em cảm thấy như đang đứng trước một trang sử sống, nơi từng chứng kiến những cọc gỗ lim nhọn hoắt cắm sâu dưới lòng sông, nơi quân dân ta đã dùng trí dũng phi thường đánh tan hàng vạn quân xâm lược.

Chúng em theo chân hướng dẫn viên đi tham quan Bảo tàng Bạch Đằng. Bên trong, rất nhiều hiện vật cổ được trưng bày: những mảnh gỗ cọc thật được vớt lên từ lòng sông, những mô hình trận thủy chiến, hình ảnh tái hiện cảnh quân dân ta giăng bẫy dưới lòng nước. Em chăm chú lắng nghe từng lời thuyết minh, tưởng tượng ra cảnh khói lửa ngút trời, tiếng trống trận vang dội, tiếng hô xung phong rền vang cả khúc sông. Trong giây phút ấy, em thấy lòng mình rạo rực một niềm tự hào khôn tả.

Sau khi tham quan, chúng em được ngồi nghỉ dưới rặng phi lao ven sông. Gió thổi vi vu, những cánh diều bay cao trên nền trời xanh thẳm. Cô giáo bảo chúng em hãy ghi lại cảm nghĩ về chuyến đi. Em viết: “Em thấy mình thật may mắn khi được sinh ra trên mảnh đất có lịch sử oai hùng. Dòng sông Bạch Đằng không chỉ là cảnh đẹp, mà còn là chứng nhân cho lòng yêu nước, cho trí tuệ và bản lĩnh Việt Nam.”

Buổi chiều, trước khi lên xe trở về, cả lớp cùng nhau chụp ảnh lưu niệm trước tượng đài Ngô Quyền. Ai cũng nở nụ cười rạng rỡ nhưng trong ánh mắt đều lấp lánh niềm tự hào và xúc động. Trên đường về, em vẫn còn vương vấn mãi hình ảnh con sông hiền hòa mà oai linh ấy.

Chuyến đi Bạch Đằng hôm ấy không chỉ là một buổi tham quan, mà còn là một bài học quý giá. Em hiểu thêm về truyền thống yêu nước, về tinh thần bất khuất của dân tộc. Em thầm hứa sẽ cố gắng học thật giỏi, sống xứng đáng với công lao của cha ông. Dù thời gian có trôi đi, nhưng trong em, con sông Bạch Đằng vẫn sẽ mãi là biểu tượng của niềm tự hào dân tộc, là ký ức đẹp nhất của tuổi học trò.

M(x)=x8−101x7+101x6−101x5+...+101x2−101x+125

\(= x^{8} - 100 x^{7} - x^{7} + 100 x^{6} + x^{6} - 100 x^{5} - x^{5} + . . . + 100 x^{2} + x^{2} - 100 x - x + 100 + 25\)

\(= x^{7} \left(\right. x - 100 \left.\right) - x^{6} \left(\right. x - 100 \left.\right) + x^{5} \left(\right. x - 100 \left.\right) - . . . + x \left(\right. x - 100 \left.\right) - \left(\right. x - 100 \left.\right) + 25\)

Vậy \(M \left(\right. 100 \left.\right) = 25\).

a) Xét \(\Delta B A D\) và \(\Delta E A D\):

      \(\hat{A B D} = \hat{A E D} = 9 0^{\circ}\).

      \(A D\) chung.

      \(\hat{B A D} = \hat{E A D} \left(\right. g t \left.\right)\).

Suy ra \(\Delta B A D = \Delta E A D\) (cạnh huyền - góc nhọn)

b) Do \(\Delta B A D = \Delta E A D\) (câu a) nên

+ ) \(A B = A E\) (Cặp cạnh tương ứng)

\(A\) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(B E\) (1)

+) \(D B = D E\) (Cặp cạnh tương ứng)

\(D\) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(B E\) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra \(A D\) là đường trung trực của \(B E\).

c) Xét \(\Delta B D K\) và \(\Delta E D C\):

       \(B K = C E\) (gt).

     \(\hat{K B D} = \hat{C E D} = 9 0^{\circ}\).

      \(B D = D E\) (chứng minh trên).

Suy ra \(\Delta B D K = \Delta E D C\) (c.g.c)

Suy ra \(\hat{B D K} = \hat{E D C}\) (Cặp góc tương ứng) (3)

Mặt khác ta có \(D\) thuộc cạnh \(B C\) nên \(\hat{E D C} + \hat{E D B} = 18 0^{\circ}\). (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\hat{B D K} + \hat{E D B} = 18 0^{\circ}\).

Hay ba điểm \(E , D , K\) thẳng hàng.