1cm

Câu hỏi thuộc lĩnh vực toán học.

 

a) Tính cos α với α là góc giữa đường tròn (C) và $$\triangle_{1}: 5x - 12y + 7 = 0$$

△ 

1

 

 :5x−12y+7=0

.

 

Tìm vector pháp tuyến của đường tròn (C) và đường thẳng $$\triangle_{1}$$

△ 

1

 

 

.

Phương trình đường tròn (C) là $$(x-3)^{2} + (y+2)^{2} = 36$$

(x−3) 

2

 +(y+2) 

2

 =36

. Tâm I(3; -2), bán kính R = 6. Vector pháp tuyến của đường tròn (C) là $$\vec{n_C} = \vec{OI} = (3, -2)$$

n 

C

 

 

 

 = 

OI

 =(3,−2)

.

 

Đường thẳng $$\triangle_{1}: 5x - 12y + 7 = 0$$

△ 

1

 

 :5x−12y+7=0

 có vector pháp tuyến $$\vec{n_{1}} = (5, -12)$$

n 

1

 

 

 

 =(5,−12)

.

 

Tính cos α.

Góc α giữa đường tròn (C) và đường thẳng $$\triangle_{1}$$

△ 

1

 

 

 chính là góc giữa hai vector pháp tuyến $$\vec{n_C}$$

n 

C

 

 

 

 

 và $$\vec{n_{1}}$$

n 

1

 

 

 

 

. Ta có:

 

$$\cos \alpha = \frac{|\vec{n_C} \cdot \vec{n_{1}}|}{||\vec{n_C}|| \cdot ||\vec{n_{1}}||} = \frac{|3(5) + (-2)(-12)|}{\sqrt{3^{2} + (-2)^{2}} \cdot \sqrt{5^{2} + (-12)^{2}}} = \frac{|15 + 24|}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{169}} = \frac{39}{\sqrt{13} \cdot 13} = \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{13}}{13}$$

cosα= 

∣∣ 

n 

C

 

 

 

 ∣∣⋅∣∣ 

n 

1

 

 

 

 ∣∣

∣ 

n 

C

 

 

 

 ⋅ 

n 

1

 

 

 

 ∣

 

 = 

3 

2

 +(−2) 

2

 

 

 ⋅ 

5 

2

 +(−12) 

2

 

 

 

∣3(5)+(−2)(−12)∣

 

 = 

13

 

 ⋅ 

169

 

 

∣15+24∣

 

 = 

13

 

 ⋅13

39

 

 = 

13

 

 

3

 

 = 

13

3 

13

 

 

 

 

 

Đáp án: $$\cos \alpha = \frac{3\sqrt{13}}{13}$$

cosα= 

13

3 

13

 

 

 

 

 

b) Viết phương trình đường thẳng vuông góc với △ và tiếp xúc (C)

 

Tìm vector pháp tuyến của đường thẳng △.

Đường thẳng △: 3x + 4y + 7 = 0 có vector pháp tuyến $$\vec{n} = (3, 4)$$

n

 =(3,4)

.

 

Tìm phương trình đường thẳng vuông góc với △.

Đường thẳng vuông góc với △ sẽ có vector pháp tuyến $$\vec{n'} = (4, -3)$$

n 

′

 

 =(4,−3)

 hoặc $$\vec{n''} = (-4, 3)$$

n 

′′

 

 =(−4,3)

.

 

Phương trình đường thẳng có dạng: $$4x - 3y + c = 0$$

4x−3y+c=0

 hoặc $$-4x + 3y + c' = 0$$

−4x+3y+c 

′

 =0

.

 

Tìm điều kiện tiếp xúc.

Khoảng cách từ tâm I(3, -2) đến đường thẳng phải bằng bán kính R = 6.

 

$$\frac{|4(3) - 3(-2) + c|}{\sqrt{4^{2} + (-3)^{2}}} = 6 \Rightarrow |18 + c| = 30 \Rightarrow 18 + c = 30$$

4 

2

 +(−3) 

2

 

 

 

∣4(3)−3(−2)+c∣

 

 =6⇒∣18+c∣=30⇒18+c=30

 hoặc $$18 + c = -30$$

18+c=−30

.

 

$$c = 12$$

c=12

 hoặc $$c = -48$$

c=−48

.

 

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: $$4x - 3y + 12 = 0$$

4x−3y+12=0

 và $$4x - 3y - 48 = 0$$

4x−3y−48=0

.

 

Đáp án: $$4x - 3y + 12 = 0$$

4x−3y+12=0

 và $$4x - 3y - 48 = 0$$

4x−3y−48=0

Câu a)

 

Để tam thức bậc hai $$f(x) = x^{2} + (m-1)x + m + 5$$

f(x)=x 

2

 +(m−1)x+m+5

 dương với mọi $$x \in R$$

x∈R

, điều kiện cần và đủ là $$\Delta < 0$$

Δ<0

.

 

Ta có $$\Delta = (m-1)^{2} - 4(m+5) = m^{2} - 2m + 1 - 4m - 20 = m^{2} - 6m - 19$$

Δ=(m−1) 

2

 −4(m+5)=m 

2

 −2m+1−4m−20=m 

2

 −6m−19

.

 

Để $$\Delta < 0$$

Δ<0

, ta có $$m^{2} - 6m - 19 < 0$$

m 

2

 −6m−19<0

. Ta tìm nghiệm của phương trình $$m^{2} - 6m - 19 = 0$$

m 

2

 −6m−19=0

:

 

$$m = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4(1)(-19)}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{6 \pm 10}{2}$$

m= 

2

6± 

36−4(1)(−19)

 

 

 

 = 

2

6± 

100

 

 

 

 = 

2

6±10

 

 

 

$$m_{1} = 8$$

m 

1

 

 =8

, $$m_{2} = -2$$

m 

2

 

 =−2

.

 

Vì hệ số của $$x^{2}$$

x 

2

 

 là dương, nên parabol $$m^{2} - 6m - 19$$

m 

2

 −6m−19

 hướng lên trên. Do đó, $$m^{2} - 6m - 19 < 0$$

m 

2

 −6m−19<0

 khi $$-2 < m < 8$$

−2<m<8

.

Đáp án: $$-2 < m < 8$$

−2<m<8

.

 

Câu b)

 

Điều kiện để phương trình có nghĩa là $$2x^{2} - 8x + 4 \ge 0$$

2x 

2

 −8x+4≥0

 và $$x - 2 \ge 0$$

x−2≥0

. $$2x^{2} - 8x + 4 = 2(x^{2} - 4x + 2) = 0$$

2x 

2

 −8x+4=2(x 

2

 −4x+2)=0

 có nghiệm $$x = 2 \pm \sqrt{2}$$

x=2± 

2

 

 

. Vậy $$x \le 2 - \sqrt{2}$$

x≤2− 

2

 

 

 hoặc $$x \ge 2 + \sqrt{2}$$

x≥2+ 

2

 

 

. Kết hợp với $$x \ge 2$$

x≥2

, ta có $$x \ge 2 + \sqrt{2}$$

x≥2+ 

2

 

 

.

 

Bình phương hai vế, ta được: $$2x^{2} - 8x + 4 = (x-2)^{2} = x^{2} - 4x + 4$$

2x 

2

 −8x+4=(x−2) 

2

 =x 

2

 −4x+4

.

 

Thu gọn phương trình: $$x^{2} - 4x = 0$$

x 

2

 −4x=0

, hay $$x(x-4) = 0$$

x(x−4)=0

. Nghiệm là $$x = 0$$

x=0

 hoặc $$x = 4$$

x=4

.

 

Kiểm tra điều kiện: $$x = 0$$

x=0

 không thỏa mãn $$x \ge 2 + \sqrt{2}$$

x≥2+ 

2

 

 

, còn $$x = 4$$

x=4

 thỏa mãn.

 

Đáp án: $$x = 4$$

x=4

.