Tam giác ABH𝐴𝐵𝐻vuông tại H𝐻.

Góc BAĤ𝐵𝐴𝐻bằng 45∘45∘.

Góc ABĤ𝐴𝐵𝐻được tính bằng 90∘−BAĤ=90∘−45∘=45∘90∘−𝐵𝐴𝐻=90∘−45∘=45∘.

Tính số đo cung AD𝐴𝐷.

Góc nội tiếp ABD̂𝐴𝐵𝐷chắn cung AD𝐴𝐷.

Số đo cung AD𝐴𝐷bằng 2⋅ABD̂=2⋅45∘=90∘2⋅𝐴𝐵𝐷=2⋅45∘=90∘.

Tính số đo góc ACK̂𝐴𝐶𝐾.

Tam giác ACK𝐴𝐶𝐾vuông tại K𝐾.

Góc CAK̂𝐶𝐴𝐾bằng 45∘45∘.

Góc ACK̂𝐴𝐶𝐾được tính bằng 90∘−CAK̂=90∘−45∘=45∘90∘−𝐶𝐴𝐾=90∘−45∘=45∘.

Tính số đo cung AE𝐴𝐸.

Góc nội tiếp ACÊ𝐴𝐶𝐸chắn cung AE𝐴𝐸.

Số đo cung AE𝐴𝐸bằng 2⋅ACÊ=2⋅45∘=90∘2⋅𝐴𝐶𝐸=2⋅45∘=90∘.

Chứng minh D𝐷, O𝑂, E𝐸thẳng hàng.

Số đo cung AD𝐴𝐷bằng 90∘90∘.

Số đo cung AE𝐴𝐸bằng 90∘90∘.

Số đo cung DE𝐷𝐸bằng số đo cung AD𝐴𝐷cộng số đo cung AE𝐴𝐸.

Số đo cung DE𝐷𝐸bằng 90∘+90∘=180∘90∘+90∘=180∘.

Cung DE𝐷𝐸có số đo 180∘180∘nên DE𝐷𝐸là đường kính của đường tròn (O)(𝑂).

Do đó, ba điểm D𝐷, O𝑂, E𝐸thẳng hàng.

Kẻ đường kính AD𝐴𝐷của đường tròn (O)(𝑂).

Xét tam giác ABD𝐴𝐵𝐷và tam giác AHC𝐴𝐻𝐶.

∠ABD=90∘∠𝐴𝐵𝐷=90∘vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.

∠AHC=90∘∠𝐴𝐻𝐶=90∘vì AH𝐴𝐻là đường cao.

∠ADB=∠ACB∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐶𝐵vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB𝐴𝐵.

Do đó, △ABD∼△AHC△𝐴𝐵𝐷∼△𝐴𝐻𝐶(g.g).

Từ sự đồng dạng, suy ra tỉ số ABAH=ADAC𝐴𝐵𝐴𝐻=𝐴𝐷𝐴𝐶.

Biến đổi tỉ số, ta có AB⋅AC=AH⋅AD𝐴𝐵⋅𝐴𝐶=𝐴𝐻⋅𝐴𝐷.

Vì AD𝐴𝐷là đường kính của đường tròn (O)(𝑂)nên AD=2R𝐴𝐷=2𝑅.

Thay AD=2R𝐴𝐷=2𝑅vào biểu thức, ta được AB⋅AC=AH⋅2R𝐴𝐵⋅𝐴𝐶=𝐴𝐻⋅2𝑅.

Kẻ đường kính AD𝐴𝐷của đường tròn (O)(𝑂).

Xét tam giác ABD𝐴𝐵𝐷có AD𝐴𝐷là đường kính nên ABD̂=90∘𝐴𝐵𝐷=90∘.

Xét tam giác AHC𝐴𝐻𝐶có AH𝐴𝐻là đường cao nên AHĈ=90∘𝐴𝐻𝐶=90∘.

Góc ADB̂𝐴𝐷𝐵và ACB̂𝐴𝐶𝐵là hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB𝐴𝐵nên ADB̂=ACB̂𝐴𝐷𝐵=𝐴𝐶𝐵.

Từ các bước trên, △ABD△𝐴𝐵𝐷và △AHC△𝐴𝐻𝐶có ABD̂=AHĈ=90∘𝐴𝐵𝐷=𝐴𝐻𝐶=90∘và ADB̂=ACB̂𝐴𝐷𝐵=𝐴𝐶𝐵.

Do đó, △ABD∼△AHC△𝐴𝐵𝐷∼△𝐴𝐻𝐶(g.g).

Từ sự đồng dạng của hai tam giác, suy ra BAD̂=HAĈ𝐵𝐴𝐷=𝐻𝐴𝐶.

Ta có BAD̂=BAĤ+HAD̂𝐵𝐴𝐷=𝐵𝐴𝐻+𝐻𝐴𝐷và HAĈ=OAĈ+HAÔ𝐻𝐴𝐶=𝑂𝐴𝐶+𝐻𝐴𝑂.

Vì AD𝐴𝐷là đường kính nên O𝑂nằm trên AD𝐴𝐷.

Do đó, HAD̂=HAÔ𝐻𝐴𝐷=𝐻𝐴𝑂.

Từ BAD̂=HAĈ𝐵𝐴𝐷=𝐻𝐴𝐶và HAD̂=HAÔ𝐻𝐴𝐷=𝐻𝐴𝑂, suy ra BAĤ=OAĈ𝐵𝐴𝐻=𝑂𝐴𝐶.