Sau 276 ngày, phần trăm ^{210}\text{Po} còn lại trong mẫu là \boxed{12{,}5\%}.

Cho:

Phản ứng:

^{235}{92}X \rightarrow\ ^{207}{82}Y + a\ \alpha + b\ \beta^-

• Mỗi hạt alpha (\alpha) có: A = 4, Z = 2

• Mỗi hạt beta trừ (\beta^-) có: A = 0, Z = -1

Bảo toàn số khối (A):

235 = 207 + 4a \Rightarrow 4a = 28 \Rightarrow \boxed{a = 7}

Bảo toàn số proton (Z):

92 = 82 + 2a - b \Rightarrow 92 = 82 + 14 - b \Rightarrow b = 82 + 14 - 92 = \boxed{4}

Kết luận:

• Có 7 hạt alpha

• Có 4 hạt beta trừ

Tính chu kỳ bán rã T:

T = \frac{t}{n} = \frac{15,2}{4} = \boxed{3,8\ \text{ngày}}

a) Bán kính hạt nhân:

Sử dụng công thức:

r = r_0 \cdot A^{1/3} = 1{,}4 \times 10^{-15} \cdot 226^{1/3}

Tính:

226^{1/3} \approx 6{,}082

r \approx 1{,}4 \times 10^{-15} \cdot 6{,}082 = \boxed{8{,}515 \times 10^{-15} \, \text{m}}

b) Năng lượng liên kết toàn phần:

• m_p = 1{,}007276 \, \text{amu}

• m_n = 1{,}008665 \, \text{amu}

• m_{\text{Ra}} = 226{,}0254 \, \text{amu}

Tính khối lượng các nucleon tự do:

m_{\text{nucleon}} = 88 \cdot 1{,}007276 + 138 \cdot 1{,}008665 = 227{,}836158 \, \text{amu}

\Delta m = 227{,}836158 - 226{,}0254 = 1{,}810758 \, \text{amu}

E = \Delta m \cdot 931{,}5 = 1{,}810758 \cdot 931{,}5 = \boxed{1687{,}21 \, \text{MeV}}

c) Năng lượng liên kết riêng:

E_{\text{riêng}} = \frac{1687{,}21}{226} = \boxed{7{,}466 \, \text{MeV/nucleon}}

Sử dụng công thức phân rã phóng xạ:

A = A_0 \cdot 2^{-t/T}

Với A_0 = 2 \, \mu\text{Ci}, t = 7,5 \, \text{giờ}, và T = 15 \, \text{giờ}:

A = 2 \cdot 2^{-7{,}5/15} = 2 \cdot 2^{-0{,}5} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 2 \cdot 0{,}7071 = 1{,}414 \, \mu\text{Ci}

Biết rằng 1 \, \mu\text{Ci} = 2{,}22 \times 10^6 \, \text{phân rã/phút}, ta có:

A = 1{,}414 \cdot 2{,}22 \times 10^6 \approx 3{,}139 \times 10^6 \, \text{phân rã/phút}

Trong 1 cm³ máu có độ phóng xạ là 502 phân rã/phút, ta có thể tính thể tích máu V bằng cách:

V = \frac{A}{\text{Độ phóng xạ trên 1 cm}^3} = \frac{3{,}139 \times 10^6}{502} \approx 6250 \, \text{cm}^3

Kết luận:

Thể tích máu của bệnh nhân là khoảng 6250 cm³, tương đương 6,25 lít.

Chu kỳ bán rã của ^{238}\text{U}: T = 4{,}47 \times 10^9 \, \text{năm}

• Khối lượng:

• ^{238}\text{U}: 46,97 mg

• ^{206}\text{Pb}: 23,15 mg

Tính số mol của ^{238}\text{U} và ^{206}\text{Pb}:

n_U = \frac{46{,}97}{238} = 0{,}1973 \, \text{mmol}, \quad n_{Pb} = \frac{23{,}15}{206} = 0{,}1124 \, \text{mmol}

Tính tỉ số \frac{N_0}{N}:

\frac{N_0}{N} = \frac{n_U + n_{Pb}}{n_U} = \frac{0{,}1973 + 0{,}1124}{0{,}1973} \approx 1{,}569

Tính hằng số phân rã \lambda:

\lambda = \frac{\ln 2}{T} = \frac{0{,}693}{4{,}47 \times 10^9} \approx 1{,}55 \times 10^{-10} \, \text{năm}^{-1}

Tính tuổi khối đá:

t = \frac{\ln(1{,}569)}{1{,}55 \times 10^{-10}} \approx 2{,}90 \times 10^9 \, \text{năm}