1. 

Công thức tính tuổi khối đá

Công thức để tính tuổi của khối đá dựa trên tỷ lệ giữa lượng ^{238}U còn lại và lượng ^{206}Pb là:

\text{Tuổi} = \frac{1}{\lambda} \ln \left( 1 + \frac{N_{\text{Pb}}}{N_{\text{U}}} \right)

Trong đó:

• \lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}} là hằng số phân rã của ^{238}U,
• T_{1/2} là chu kỳ bán rã của ^{238}U,
• N_{\text{Pb}} là lượng ^{206}Pb hiện có,
• N_{\text{U}} là lượng ^{238}U hiện có.

2. 

Tính hằng số phân rã \lambda

Chu kỳ bán rã của ^{238}U là T_{1/2} = 4,47 \times 10^9 \, \text{năm}. Hằng số phân rã \lambda được tính như sau:

\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}} = \frac{0,693}{4,47 \times 10^9 \, \text{năm}} \approx 1,55 \times 10^{-10} \, \text{năm}^{-1}

3. 

Tính tỷ lệ giữa N_{\text{Pb}} và N_{\text{U}}

Lượng ^{238}U ban đầu là 46,97 \, \text{mg} và lượng ^{206}Pb hiện có là 23,15 \, \text{mg}. Vì toàn bộ lượng ^{206}Pb là sản phẩm phân rã từ ^{238}U, nên lượng ^{206}Pb này chỉ là một phần của tổng lượng ^{238}U ban đầu. Khi tính tỷ lệ, ta cần chú ý rằng lượng ^{238}U còn lại trong đá là 46,97 - 23,15 = 23,82 \, \text{mg}, vì một phần đã biến thành ^{206}Pb.

Tỷ lệ giữa lượng ^{206}Pb và lượng ^{238}U là:

\frac{N_{\text{Pb}}}{N_{\text{U}}} = \frac{23,15}{23,82} \approx 0,970

4. 

Tính tuổi khối đá

Áp dụng vào công thức tính tuổi:

\text{Tuổi} = \frac{1}{1,55 \times 10^{-10}} \ln \left( 1 + 0,970 \right)

Tính toán:

\ln(1 + 0,970) = \ln(1,970) \approx 0,674

\text{Tuổi} = \frac{0,674}{1,55 \times 10^{-10}} \approx 4,35 \times 10^9 \, \text{năm}

Kết quả:

Tuổi của khối đá là khoảng 4,35 tỉ năm.

1. Tính độ phóng xạ ban đầu của dung dịch ^{24}Na

Được cho là độ phóng xạ ban đầu của dung dịch ^{24}Na là 2 μCi (microcurie). Ta có:

1 \, \mu Ci = 3,7 \times 10^4 \, \text{phân rã/s}

Do đó, độ phóng xạ ban đầu là:

2 \, \mu Ci = 2 \times 3,7 \times 10^4 = 7,4 \times 10^4 \, \text{phân rã/s}

2. Tính hằng số phân rã \lambda của ^{24}Na

Chu kỳ bán rã của ^{24}Na là T_{1/2} = 15 \, \text{giờ} = 54000 \, \text{giây}. Hằng số phân rã \lambda được tính theo công thức:

\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}} = \frac{0,693}{54000} \approx 1,285 \times 10^{-5} \, \text{s}^{-1}

3. Tính độ phóng xạ sau 7,5 giờ

Sau 7,5 giờ (tương đương 27000 giây), độ phóng xạ của dung dịch sẽ giảm đi theo công thức:

A_t = A_0 e^{-\lambda t}

Trong đó:

• A_t: Độ phóng xạ tại thời điểm t = 27000 \, \text{s},
• A_0: Độ phóng xạ ban đầu (7,4 × 10⁴ phân rã/s),
• \lambda: Hằng số phân rã (1,285 \times 10^{-5} \, \text{s}^{-1}),
• t: Thời gian (27000 s).

Tính độ phóng xạ sau 7,5 giờ:

A_t = 7,4 \times 10^4 \cdot e^{-1,285 \times 10^{-5} \times 27000} = 7,4 \times 10^4 \cdot e^{-0,346} \approx 7,4 \times 10^4 \cdot 0,707 = 5,23 \times 10^4 \, \text{phân rã/s}

4. Tính thể tích máu

Khi lấy mẫu máu 1 cm³, độ phóng xạ của nó là 502 phân rã/phút. Ta cần chuyển đổi độ phóng xạ này sang đơn vị phân rã/s:

502 \, \text{phân rã/phút} = \frac{502}{60} \, \text{phân rã/s} \approx 8,37 \, \text{phân rã/s}

Đối với thể tích máu V, ta có mối quan hệ giữa độ phóng xạ của máu và độ phóng xạ ban đầu của dung dịch ^{24}Na theo công thức:

\frac{A_{\text{máu}}}{A_0} = \frac{V_{\text{máu}}}{V_{\text{dung dịch}}}

Trong đó:

• A_{\text{máu}} = 8,37 \, \text{phân rã/s},
• A_0 = 5,23 \times 10^4 \, \text{phân rã/s},
• V_{\text{máu}} = ? (thể tích máu cần tìm),
• V_{\text{dung dịch}} = 1 \, \text{cm}^3.

Giải phương trình này để tìm V_{\text{máu}}:

\frac{8,37}{5,23 \times 10^4} = \frac{V_{\text{máu}}}{1}

V_{\text{máu}} = \frac{8,37}{5,23 \times 10^4} \times 1 = 1,6 \times 10^{-4} \, \text{cm}^3

Kết quả:

Thể tích máu của người đó là 1,6 × 10⁻⁴ cm³.

a) Tính bán kính của hạt nhân ^{226}_{88}Ra

Công thức tính bán kính hạt nhân là:

r = r_0 \cdot A^{1/3}

Trong đó:

• r_0 = 1,4 \times 10^{-15} \, \text{m} (hằng số bán kính),
• A là số nucleon (tổng số proton và neutron trong hạt nhân).

Với hạt nhân ^{226}_{88}Ra, ta có A = 226.

Tính bán kính:

r = 1,4 \times 10^{-15} \cdot 226^{1/3}

Đầu tiên tính giá trị 226^{1/3}:

226^{1/3} \approx 6,13

Sau đó:

r = 1,4 \times 10^{-15} \cdot 6,13 \approx 8,6 \times 10^{-15} \, \text{m}

Vậy bán kính của hạt nhân ^{226}_{88}Ra là khoảng 8,6 \times 10^{-15} \, \text{m}.

b) Tính năng lượng liên kết của hạt nhân và năng lượng liên kết riêng

1. Tính năng lượng liên kết của hạt nhân

Công thức tính năng lượng liên kết của hạt nhân là:

E_b = \left( Z \cdot m_p + (A - Z) \cdot m_n - m_{\text{hạt nhân}} \right) \cdot c^2

Trong đó:

• Z = 88 (số proton),
• A = 226 (số nucleon),
• m_p = 1,007276 \, \text{amu},
• m_n = 1,008665 \, \text{amu},
• m_{\text{hạt nhân}} = 226,0254 \, \text{amu},
• c^2 = 931,5 \, \text{MeV/amu}.

1.1. Tính tổng khối lượng proton và neutron:

• Khối lượng của proton là: m_p \cdot Z = 1,007276 \times 88 = 88,640288 \, \text{amu},
• Khối lượng của neutron là: m_n \cdot (A - Z) = 1,008665 \times (226 - 88) = 1,008665 \times 138 = 139,19647 \, \text{amu}.

Tổng khối lượng của proton và neutron là:

88,640288 + 139,19647 = 227,836758 \, \text{amu}

1.2. Tính năng lượng liên kết:

Mất mát khối lượng (mất mát năng lượng):

\Delta m = 227,836758 - 226,0254 = 1,811358 \, \text{amu}

Năng lượng liên kết là:

E_b = 1,811358 \cdot 931,5 = 1,688 \times 10^3 \, \text{MeV}

Vậy năng lượng liên kết của hạt nhân ^{226}_{88}Ra là khoảng 1688 MeV.

2. Tính năng lượng liên kết riêng

Năng lượng liên kết riêng được tính bằng cách chia năng lượng liên kết cho số nucleon:

E_{\text{b riêng}} = \frac{E_b}{A} = \frac{1688}{226} \approx 7,46 \, \text{MeV/nucleon}

Vậy năng lượng liên kết riêng của hạt nhân ^{226}_{88}Ra là khoảng 7,5 MeV/nucleon.