Ta sẽ giải bài toán này theo các bước sau: --- Dữ kiện: Ban đầu: mẫu có 50% là , 50% là tạp chất (không phân rã). Chu kỳ bán rã ngày. Thời gian ngày. Hỏi: % khối lượng còn lại trong toàn mẫu sau 276 ngày. --- Bước 1: Tính phần khối lượng còn lại sau phân rã Sử dụng công thức: A = A_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}} = A_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{276}{138.4}} = A_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = A_0 \cdot \frac{1}{4} Vậy, chỉ còn 25% khối lượng ban đầu của sau 276 ngày. --- Bước 2: Ban đầu Po chiếm 50% khối lượng mẫu Sau 276 ngày, lượng Po còn lại là: \text{Khối lượng còn lại} = 50\% \times 25\% = 12.5\% \text{ của toàn bộ mẫu} --- Kết luận: Sau 276 ngày, phần trăm khối lượng còn lại trong mẫu là 12,5%.

Ta giải bài toán bằng cách bảo toàn số khối (A) và bảo toàn số proton (Z) trong quá trình phân rã: --- Cho: Phản ứng phân rã: ^{235}_{92}X \rightarrow ^{207}_{82}Y + ?\alpha + ?\beta^- Gọi số hạt alpha là , số hạt beta trừ là --- Bước 1: Bảo toàn số khối (A): Mỗi hạt alpha () làm giảm 4 đơn vị khối Hạt beta không thay đổi số khối 235 = 207 + 4a \Rightarrow a = \frac{235 - 207}{4} = \frac{28}{4} = 7 --- Bước 2: Bảo toàn số proton (Z): Mỗi hạt alpha làm giảm 2 đơn vị proton Mỗi hạt beta trừ () làm tăng 1 proton 92 = 82 + (7 \cdot 2) - b \Rightarrow 92 = 82 + 14 - b \Rightarrow b = 82 + 14 - 92 = 4 --- Kết luận: Trong quá trình phân rã: 7 hạt alpha 4 hạt beta trừ () được phát ra.

Để xác định chu kỳ bán rã của chất phóng xạ , ta sử dụng công thức phân rã phóng xạ: A = A_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}} Trong đó: mg (khối lượng ban đầu) của 1 mg (vì giảm 93.75%, tức còn 6.25%) ngày : chu kỳ bán rã (cần tìm) --- Bước 1: Đặt tỉ lệ còn lại \frac{A}{A_0} = 0.0625 = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{15.2}{T}} Bước 2: Giải phương trình 0.0625 = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{15.2}{T}} \Rightarrow \frac{15.2}{T} = \log_{1/2}(0.0625) \log_{1/2}(0.0625) = \log_{1/2}\left(\frac{1}{16}\right) = 4 \Rightarrow \frac{15.2}{T} = 4 \Rightarrow T = \frac{15.2}{4} = 3.8 \text{ ngày} --- Kết luận: Chu kỳ bán rã của là 3,8 ngày.

Để tính tuổi của khối đá, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp xác định tuổi bằng đồng vị phóng xạ, đặc biệt là qua chu trình phân rã của thành . Ta sử dụng công thức mô hình phân rã phóng xạ và tỷ lệ giữa đồng vị mẹ () và đồng vị con (). Các dữ liệu cho trước: Chu kỳ bán rã của là . Khối lượng của là 46,97 mg. Khối lượng của là 23,15 mg. Ban đầu, khối đá không chứa chì, và toàn bộ lượng chì có mặt trong đá là sản phẩm phân rã của . Các bước tính toán: 1. Tính số mol của và : Khối lượng mol của là 238 g/mol, và của là 206 g/mol. Số mol của trong khối lượng 46,97 mg: n_{\text{U}} = \frac{46,97 \, \text{mg}}{238 \, \text{g/mol}} = \frac{46,97 \times 10^{-3} \, \text{g}}{238} \approx 1,97 \times 10^{-4} \, \text{mol} Số mol của trong khối lượng 23,15 mg: n_{\text{Pb}} = \frac{23,15 \, \text{mg}}{206 \, \text{g/mol}} = \frac{23,15 \times 10^{-3} \, \text{g}}{206} \approx 1,12 \times 10^{-4} \, \text{mol} 2. Tính tỷ lệ giữa số mol của và : Tỷ lệ số mol của và là tỷ lệ giữa lượng chì tạo ra từ phân rã của và lượng còn lại. \frac{n_{\text{Pb}}}{n_{\text{U}}} = \frac{1,12 \times 10^{-4}}{1,97 \times 10^{-4}} \approx 0,568 3. Áp dụng công thức phân rã: Để tính tuổi của khối đá, ta sử dụng công thức phân rã phóng xạ: \frac{N_{\text{Pb}}}{N_{\text{U}}} = e^{\lambda t} - 1 Trong đó: là hằng số phân rã. là tuổi của khối đá. Tính : \lambda = \frac{\ln 2}{4,47 \times 10^9} \approx 1,55 \times 10^{-10} \, \text{năm}^{-1} Thay vào công thức: 0,568 = e^{1,55 \times 10^{-10} \times t} - 1 Giải phương trình này: e^{1,55 \times 10^{-10} \times t} = 1,568 Lấy logarithm tự nhiên của cả hai vế: 1,55 \times 10^{-10} \times t = \ln(1,568) 1,55 \times 10^{-10} \times t \approx 0,451 t \approx \frac{0,451}{1,55 \times 10^{-10}} \approx 2,91 \times 10^9 \, \text{năm} Kết luận: Tuổi của khối đá là khoảng 2,91 tỉ năm.

Để xác định thể tích máu của bệnh nhân, ta sẽ sử dụng công thức liên quan đến độ phóng xạ và thời gian bán rã của đồng vị phóng xạ. Các dữ liệu cho trước: Chu kỳ bán rã của đồng vị là 15 giờ. Độ phóng xạ ban đầu là 2 μCi. Sau 7,5 giờ, độ phóng xạ là 502 phân rã/phút cho 1 cm³ máu. Thời gian sau khi tiêm là 7,5 giờ. Các bước tính toán: 1. Tính độ phóng xạ còn lại sau 7,5 giờ: Chu kỳ bán rã giờ, và sau thời gian giờ, độ phóng xạ còn lại được tính bằng công thức: A(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda t} Trong đó: là độ phóng xạ ban đầu (2 μCi). là hằng số phân rã, được tính bằng . Tính : \lambda = \frac{\ln 2}{15} = 0,0462 \, \text{h}^{-1} Tiếp theo, tính độ phóng xạ sau 7,5 giờ: A(7,5) = 2 \times e^{-0,0462 \times 7,5} \, \text{μCi} = 2 \times e^{-0,3465} \, \text{μCi} \approx 2 \times 0,707 \, \text{μCi} = 1,414 \, \text{μCi} 2. Đổi đơn vị độ phóng xạ từ μCi sang phân rã/phút: 1 μCi = phân rã/phút, nên độ phóng xạ ban đầu là: A_0 = 2 \, \text{μCi} = 2 \times 37 \times 10^3 = 74 \times 10^3 \, \text{phân rã/phút} Độ phóng xạ còn lại sau 7,5 giờ là: A(7,5) = 1,414 \times 37 \times 10^3 = 52,3 \times 10^3 \, \text{phân rã/phút} 3. Tính thể tích máu: Độ phóng xạ 502 phân rã/phút là độ phóng xạ của 1 cm³ máu. Vậy thể tích máu có độ phóng xạ là phân rã/phút là: V = \frac{A(7,5)}{502} = \frac{52,3 \times 10^3}{502} \approx 104,5 \, \text{cm}^3 Vậy thể tích máu của bệnh nhân là 104,5 cm³.

a) Tính bán kính của hạt nhân: Công thức tính bán kính hạt nhân là: r = r_0 \cdot A^{1/3} Trong đó: (vì hạt nhân có tổng số nucleon là 226) Áp dụng vào công thức: r = 1,4 \times 10^{-15} \cdot 226^{1/3} Tính giá trị : 226^{1/3} \approx 6,070 Vậy bán kính hạt nhân là: r \approx 1,4 \times 10^{-15} \times 6,070 = 8,498 \times 10^{-15} \, \text{m} Vậy bán kính của hạt nhân là khoảng 8,5 fm (femtomet). --- b) Tính năng lượng liên kết của hạt nhân và năng lượng liên kết riêng: 1. Tính khối lượng của các nucleon trong hạt nhân: Hạt nhân có 88 proton và 138 neutron. Khối lượng tổng của các nucleon là: M_{\text{nucleon}} = 88 \times 1,007276 + 138 \times 1,008665 = 88,6395 + 138,119 \approx 226,7585 \, \text{amu} 2. Độ hụt khối (mass defect): Khối lượng của hạt nhân là 226,0254 amu. Độ hụt khối: \Delta m = M_{\text{nucleon}} - M_{\text{hạt nhân}} = 226,7585 - 226,0254 = 0,7331 \, \text{amu} 3. Tính năng lượng liên kết: Áp dụng công thức , với : E_{\text{liên kết}} = 0,7331 \times 931,5 \, \text{MeV} \approx 683,5 \, \text{MeV} Vậy năng lượng liên kết của hạt nhân là 683,5 MeV. 4. Tính năng lượng liên kết riêng: Năng lượng liên kết riêng được tính bằng: E_{\text{liên kết riêng}} = \frac{E_{\text{liên kết}}}{A} Với : E_{\text{liên kết riêng}} = \frac{683,5}{226} \approx 3,02 \, \text{MeV/nucleon} Vậy năng lượng liên kết riêng của hạt nhân là 3,02 MeV/nucleon.