a, Xét tam giác ABC có CD là phân giác góc ACB (GT)

\(\Rightarrow\dfrac{AC}{CB}=\dfrac{AD}{BD}\) (tính chất đường phân giác)

⇒ \(\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{CB}{BD}=\dfrac{AC+CB}{AD+BD}=\dfrac{12+6}{12}=\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow\dfrac{12}{AD}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow AD=8cm\\\dfrac{CB}{BD}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow\dfrac{6}{BD}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow BD=4cm\end{matrix}\right.\)

Vậy a, AD=8cm; BD=4cm.

b,

Xét tam giác BAC có BN là đường phân giác của góc ABC(GT)

⇒ \(\dfrac{CN}{AN}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{a}{b}\) (tính chất đường phân giác)

Xét tam giác CAB có CM là đường phân giác góc ACB (GT)

⇒ \(\dfrac{BM}{AM}=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{a}{b}\)( tính chất đường phân giác)

Xét tam giác ABC có

⇒\(\dfrac{BM}{AM}=\dfrac{CN}{AN}\left(CMT\right)\Rightarrow\dfrac{BM}{CN}=\dfrac{AM}{AN}\)

⇒ MN//BC(Thales đảo)

⇒ \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC}\Rightarrow\dfrac{AM}{b}=\dfrac{MN}{a}\)(1)

Có \(\dfrac{BM}{AM}=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{a}{b}\) (cmt)

⇒\(\dfrac{AM}{BM}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{b}{a}\)

⇒ \(\dfrac{AM}{b}=\dfrac{BM}{a}=\dfrac{AM+BM}{a+b}=\dfrac{AB}{a+b}=\dfrac{b}{b+a}\)

⇒ \(AM=\dfrac{b^2}{a+b}\)

Thay vào (1) được

\(\dfrac{\dfrac{b^2}{a+b}}{b}=\dfrac{MN}{a}\Rightarrow\dfrac{b}{b+a}=\dfrac{MN}{a}\)

⇒ \(MN=\dfrac{b}{b+a}\times a=\dfrac{ab}{a+b}\)

Vậy \(MN=\dfrac{ab}{a+b}\).