a) Tính cosα với α là góc giữa Δ và Δ₁

• Vectơ pháp tuyến của Δ và Δ₁:
• • Vectơ pháp tuyến của Δ là nΔ = (3; 4)
  • Vectơ pháp tuyến của Δ₁ là nΔ₁ = (5; -12)
• Tính cosα:
• • cosα = |(nΔ * nΔ₁) / (|nΔ| * |nΔ₁|)|
  • nΔ * nΔ₁ = 3 * 5 + 4 * (-12) = 15 - 48 = -33
  • |nΔ| = √(3² + 4²) = √25 = 5
  • |nΔ₁| = √(5² + (-12)²) = √169 = 13
  • cosα = |-33 / (5 * 13)| = 33 / 65

b) Viết phương trình đường thẳng vuông góc với Δ và tiếp xúc (C)

• Phương trình đường thẳng vuông góc với Δ:
• • Đường thẳng vuông góc với Δ sẽ có dạng: 4x - 3y + c = 0 (với c là hằng số cần tìm)
• Điều kiện tiếp xúc với (C):
• • Đường tròn (C) có tâm I(3; -2) và bán kính R = 6.
  • Để đường thẳng tiếp xúc với (C), khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng phải bằng bán kính R.
• Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng:
• • Khoảng cách từ I(3; -2) đến đường thẳng 4x - 3y + c = 0 là:
  • • d(I, đường thẳng) = |(4 * 3 - 3 * (-2) + c) / √(4² + (-3)²) | = |(12 + 6 + c) / 5| = |(18 + c) / 5|
• Áp dụng điều kiện tiếp xúc:
• • |(18 + c) / 5| = 6
  • |18 + c| = 30
  • 18 + c = 30 hoặc 18 + c = -30
  • c = 12 hoặc c = -48
• Phương trình đường thẳng:
• • Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn:
  • • 4x - 3y + 12 = 0
    • 4x - 3y - 48 = 0

Kích thước của cả khung ảnh là \(\left(\right. 17 + 2 � \left.\right)\) cm x \(\left(\right. 25 + 2 � \left.\right)\) cm (Điều kiện: \(� > 0\))

Diện tích cả khung ảnh là: S = \(\left(\right. 17 + 2 � \left.\right) . \left(\right. 25 + 2 � \left.\right) = 4 �^{2} + 84 � + 425\)

Để diện tích của cả khung ảnh lớn nhất là \(513\) cm² thì  \(� = 4 �^{2} + 84 � + 425 \leq 513\)

\(\Rightarrow 4 �^{2} + 84 � - 88 \leq 0 \Leftrightarrow - 22 \leq � \leq 1\). Vì \(� > 0\) nên \(� \in \left(\right. 0 ; 1 \left]\right.\)

Vậy cần phải làm độ rộng viền khung ảnh tối đa \(1\) (cm).

Chắc chắn rồi, sau đây là lời giải chi tiết cho từng phần:

a) Tìm m để tam thức bậc hai f(x) > 0 với mọi x ∈ R

• Điều kiện để tam thức bậc hai dương với mọi x: Hệ số a > 0 (trong trường hợp này a = 1, đã thỏa mãn) (Δ) < 0
• Tính delta (Δ):
• • Δ = (m - 1)² - 4 . 1 . (m + 5)
  • Δ = m² - 2m + 1 - 4m - 20
  • Δ = m² - 6m - 19
• Giải bất phương trình Δ < 0:
• • m² - 6m - 19 < 0
  • Để giải bất phương trình này, ta tìm nghiệm của phương trình bậc hai m² - 6m - 19 = 0.
  • Sử dụng công thức nghiệm bậc hai ta có:
  • • m1= 3 - 2√7
    • m2= 3 + 2√7
  • Do đó ta có kết quả của bất phương trình là: 3 - 2√7 < m < 3 + 2√7
• Kết luận: Để f(x) > 0 với mọi x ∈ R, m phải thỏa mãn điều kiện: 3 - 2√7 < m < 3 + 2√7

b) Giải phương trình 2x² - 8x + 4 = x - 2

• Chuyển vế và đưa về phương trình bậc hai:
• • 2x² - 8x + 4 - x + 2 = 0
  • 2x² - 9x + 6 = 0
• Giải phương trình bậc hai:
• • Tính delta (Δ): Δ = (-9)² - 4 * 2 * 6 = 81 - 48 = 33
  • Vì Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
  • • x₁ = (9 + √33) / 4
    • x₂ = (9 - √33) / 4
• Kết luận: Phương trình có hai nghiệm: x₁ = (9 + √33) / 4 và x₂ = (9 - √33) / 4.