Chứng minh BAE = EAC = AEF = EFI = IFC Vì AE là tia phân giác của A nên BAE = EAC (1) Vì EF // AB nên BAE = AEF (hai góc so le trong) (2) Từ (1) và (2) suy ra BAE = EAC = AEF Vì FI // AE nên AEF = EFI (hai góc so le trong) (3) Từ (1) và (3) suy ra BAE = EAC = AEF = EFI Vì FI // AE nên EFI = IFC (hai góc đồng vị) (4) Từ (3) và (4) suy ra BAE = EAC = AEF = EFI = IFC (điều phải chứng minh) Chứng minh FI là tia phân giác của EFC Vì EF // AB nên EFA = BAC (đồng vị). Vì AE là phân giác của BAC nên BAC = 2EAC Do đó, EFA = 2EAC Mà EAC = EFI (cmt) Suy ra EFA = 2EFI Ta có EFA = EFI + IFC, mà EFA = 2EFI => EFI = IFC Vậy FI là tia phân giác của EFC (điều phải chứng minh).

a) Chứng minh AC vuông góc AD và BD vuông góc BC: Vì xy // mn nên xAB + ABm = 180° (hai góc trong cùng phía bù nhau). AC là tia phân giác của xAB nên CAB = 1/2 xAB AD là tia phân giác của BAy nên DAB = 1/2 BAy Ta có: CAB + DAB = 1/2 xAB + 1/2 BAy = 1/2 (xAB + BAy) = 1/2 • 180° = 90° Suy ra, CAD = 90°, do đó AC vuông góc AD. Tương tự: BC là tia phân giác của ABm nên ABC = 1/2 ABm BD là tia phân giác của ABn nên ABD = \1/2 ABn Ta có: ABC + ABD = 1/2} ABm + 1/2 ABn = 1/2} (ABm + ABn) = 1/2 • 180 = 90° Suy ra, CBD = 90°, do đó BD vuông góc BC. b) Chứng minh AD // BC và AC // BD: Ta có: AC vuông góc AD (chứng minh trên). BD vuông góc BC (chứng minh trên). Suy ra CAD = 90° và CBD = 90° Xét tứ giác ACBD, có CAD = CBD = 90° Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên AD // BC và AC // BD. c) Chứng minh góc ACB và góc BDA là các góc vuông: Xét tam giác ABC, có CAB + ABC + ACB = 180° Mà CAB = 1/2} xAB và ABC = 1/2 ABm Suy ra CAB + ABC = 1/2 (xAB + ABm) = 1/2} • 180° = 90° Do đó, ACB = 180° - (CAB + ABC) = 180° - 90° =90° Vậy góc ACB là góc vuông. Tương tự: Xét tam giác ABD, có DAB + ABD + BDA = 180° Mà DAB = 1/2 BAy và ABD = 1/2 ABn Suy ra DAB + ABD = 1/2 (BAy + ABn) = 1/2} • 180° = 90° Do đó, BDA = 180° - (DAB + ABD) = 180° - 90° =90° Vậy góc BDA là góc vuông

Chứng minh: Vì OM là tia phân giác của ∠AOC, nên ∠AOM = ∠MOC = 1/2 ∠AOC. Vì ON là tia phân giác của ∠BOD, nên ∠BON = ∠NOD = 1/2 ∠BOD. Mà ∠AOC = ∠BOD (hai góc đối đỉnh). Suy ra, ∠AOM = ∠BON. Ta có: ∠AOM + ∠AOB = 180° (hai góc kề bù). Thay ∠AOM = ∠BON, ta có: ∠BON + ∠AOB = 180°. Vậy, hai tia OM và ON có chung gốc O, tạo thành một góc 180°, nên chúng là hai tia đối nhau (điều phải chứng minh).

Chứng minh AA' // BB' Vì AA' là tia phân giác của góc xAB, nên góc xAA' = 1/2 góc xAB. Vì BB' là tia phân giác của góc ABy', nên góc ABB' = 1/2 góc ABy'. Ta có xy // x'y', nên góc xAB = góc ABy' (hai góc so le trong). Suy ra AA' // BB' ( dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song ) b) Chứng minh góc AA'B = góc AB'B Vì AA' // BB' (chứng minh trên), nên góc AA'B = góc B'BA (hai góc so le trong). Ta có góc AB'B + góc B'BA = 180° (hai góc kề bù). Tương tự, góc AA'B + góc BAA' = 180° (hai góc kề bù). Mà góc AA'B = góc B'BA (chứng minh trên), nên góc AB'B = góc BAA'. Mà góc BAA' = góc ABB' (vì góc xAA' = góc ABB', chứng minh ở câu a). Vậy góc AA'B = góc AB'B.