Xét tứ giác MNPQMNPQ, ta có: MQMQ // NPNP và MNMN // PQPQ suy ra MNPQMNPQ là hình bình hành.

Kéo dài ADAD và BCBC cắt nhau tại EE.

Ta có: \widehat{C}+\widehat{D}= 90^\circC+D=90∘ suy ra \widehat E=90^\circE=90∘.

Lại có:MNMN // EDED và MQMQ // ECEC suy ra MN \bot MQMN⊥MQ

Do đó MNPQMNPQ là hình chữ nhật suy ra M, \, N, \, P, \, QM,N,P,Q nằm trên một đường tròn với tâm là giao điểm của hai đường chéo của hình chữ nhật, bán kính bằng nửa đường chéo

Vì tam giác ABCABC đều nên các trung tuyến đồng thời cũng là đường cao.

Suy ra AM, \, BN, \, CPAM,BN,CP lần lượt vuông góc với BC, \, AC, \, ABBC,AC,AB.

\Delta BPCΔBPC là tam giác vuông, có BCBC là cạnh huyền nên MP=\dfrac{1}{2}BC=BM=MCMP=21​BC=BM=MC (1)

\Delta BNCΔBNC là tam giác vuông, có BCBC là cạnh huyền nên NM=\dfrac{1}{2}BC=BM=MCNM=21​BC=BM=MC (2) 

Từ (1) và (2) suy ra PM=NM=MB=MCPM=NM=MB=MC hay các điểm B, \, P, \, N, \, CB,P,N,C cùng thuộc đường tròn, đường kính BC=aBC=a, tâm đường tròn là trung điểm MM của BCBC.

Vì ba tam giác ADM, \, AEM, \, AHMADM,AEM,AHM có chung cạnh huyền AMAM nên ba đỉnh góc vuông D, \, E, \, HD,E,H nằm trên đường tròn đường kính AMAM có tâm là trung điểm của AMAM.

Vậy năm điểm A, \, D, \, M, \, H, \, EA,D,M,H,E cùng nằm trên một đường tròn

a) Giả sử đường tròn (O)(O) có bán kính RR suy ra OA=ROA=R (1)(1)

Do BB là điểm đối xứng với AA qua dd suy ra OA=OBOA=OB (2)(2)

Do CC là điểm đối xứng với AA qua OO suy ra OA=OCOA=OC (3)(3)

Do DD là điểm đối xứng với BB qua OO suy ra OB=ODOB=OD (4)(4)

Từ (1)(1), (2)(2), (3)(3) và (4)(4) suy ra BB, CC và DD cùng thuộc (O)(O).

b) Ta thấy ACAC và BDBD cắt nhau tại OO là trung điểm của mỗi đường, suy ra ABCDABCD là hình chữ nhật.

c) Ta thấy OC=ODOC=OD suy ra dd là đường trung trực của CDCD.

Suy ra CC và DD đối xứng với nhau qua dd.

Gọi MM, NN, PP, QQ lần lượt là trung điểm của bốn cạnh ABAB, BCBC, CDCD và DADA của hình thoi ABCDABCD.

Gọi OO là giao điểm của ACAC và BDBD.

Ta có AC\bot BDAC⊥BD.

Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, ta được:

OM=\dfrac{1}{2}ABOM=21​AB; ON=\dfrac{1}{2}BCON=21​BC;

OP=\dfrac{1}{2}CDOP=21​CD; OQ=\dfrac{1}{2}ADOQ=21​AD

Mặt khác AB=BC=CD=DAAB=BC=CD=DA nên OM=ON=OP=OQOM=ON=OP=OQ.

Do đó bốn điểm MM, NN, PP, QQ cùng nằm trên một đường tròn

Gọi OO là trung điểm của BCBC.

Ta có BDBD là đường cao nên BD\bot ACBD⊥AC, hay tam giác BCDBCD vuông tại DD.

Trong tam giác vuông BCDBCD có DODO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BCBC nên:

OD=OB=OC=\dfrac{1}{2}BCOD=OB=OC=21​BC (1)(1)

Tương tự ta có: OE=OB=OC=\dfrac{1}{2}BCOE=OB=OC=21​BC (2)(2)

Và OF=OB=OC=\dfrac{1}{2}BCOF=OB=OC=21​BC (3)(3)

Từ (1)(1), (2)(2) và (3)(3) suy ra OB=OC=OD=OD=OE=OFOB=OC=OD=OD=OE=OF.

Do đó năm điểm BB, CC, DD, EE, FF cùng thuộc một đường tròn.

Tam giác ABCABC có hai đường cao B{B}'BB′ và C{C}'CC′ nên \widehat{B{C}'C}=\widehat{B{B}'C}=90^\circ.BC′C=BB′C=90∘.

Suy ra OB=OC=O{B}'=O{C}'OB=OC=OB′=OC′ (đường cao ứng với cạnh huyền).

Do đó bốn điểm BB, {C}'C′, {B}'B′, CC cùng nằm trên một đường tròn.

Tứ giác ABCDABCD có \widehat{B}=\widehat{D}=90^\circB=D=90∘ nên OA=OB=OC=ODOA=OB=OC=OD (đường cao ứng với cạnh huyền).

Suy ra bốn điểm AA, BB, CC, DD cùng nằm trên một đường tròn tâm OO, đường kính ACAC.